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밑에 뚝딱이가 질문한 집합 A_N 의 원소의 개수모바일에서 작성

B . O(117.111) 2014.04.23 03:51:43
조회 220 추천 0 댓글 2


질문글 :

https://m.dcinside.com/view.php?id=mathematics&no=145441&page=2

첫번째 줄에 있는건 점화식 쓰면 쉽게 알 수 있음.

그리고 두번째껀 칸토어가 대각선 논법 할때와 같이 N×N 으로 생각해서 알 수 있고 위 식으로부터 알 수도 있음. Mobius funtion 써서 간단하게 쓸 수 있지만 왠지 저게 더 보기 편해서.

물론, 첫번째 것이 더 쉽겠지 점화식이 간단하게 바로 나오니까.


표현이 위와 같이 된다는 것이었고, 정작 중요한 것은 합인데,

첫번째를 보면 합이 증가할때 어느정도 들쑥날쑥함을 알 수 있음.

( 대락 2000 부근에서 최대 최소를 보면 phi(2048)=1024 , phi(2310)=480 이고, 30000 부근에서 phi(32768)=16384 , phi(30030)=5760 임. )

이는 N 이 증가할수록, 적절히 가까운 수들의 함수값의 최소/최대 가 0 으로 수렴함. 뭐 어디까지나 최대 최소의 이야기이지만...


아무튼 복소해석을 써서 합을 표현 할 수 있음.

더 간단한 방법이 있는가는 아직은 잘 모르겠고,

Perron's formula 에 관해서 직접 나타내면

zeta(s-1)/zeta(s) = sum_[n=1 to infinity] phi(n)/n^s

를 이용해서 나타낼 수 있고, estimation 은 나도 잘 모르겠네.

c (N/lnN)^2 쯤 될 듯 싶음. c 는 상수.

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