1. give an example of a totally bounded metric space which is not compact.

-> 답안을 보면 => any bounded non-closed subset of R^n is totally bounded but not compact.

라고 합니다. 그래서 그냥 생각해본게 (0,1) in R 은 totally bounded 인데 왜 not compact 인지를 모르겠네요....

                                                       즉, [0,1] 은 이 예시에서도 왜 안되는지도 잘 모르겠고 어떤 차이인지를 모르겠습니다.

=> 리플 하나 보니깐, R^n 에서는 closed bdd 이면 compact 라는데 그럼 왜 (0,1) 은  compact 가 안되는건가요?

    compact 의 정의를 보면 open cover가 있으면 그것이 finite 한 subcover 가 있으면 되는거 아닌가요...?

2. Let B(S) be the metric space of bounded real-valued functions on the set S, with the metric of uniform convergence on S.

   Show that B(S) is separable if and only if S is finite.

-> hint 가 주어졌는데요, For any subset T of S, define X_T 는 B(S)의 원소로써 by

          X_T(S) = 1, s가 T에 속한다면

                      = 0, s가 T에 속하지 않는다면.

     then, the balls B(X_T , 1/2) are disjoint.

  -> 생각을 해보았는데요,

       (=>방향 증명)  B(S) 가 separable이기에, countable dense subset 이 존재하고... 그담 어떻게 이어갈지 막막하더라고요...

      (<= 방향 증명) S 가 finite 라면 T 또한 finite 이고 그담 어떻게 B(S)로 넘어갈지....이것도 아이디어가 안떠오르네요

TOPOLOGY 고수님들의 조언좀 부탁드리겠습니다.