KMO 문제 들고 와서 뭔 수험생 ㅇㅈㄹ

문제에 제시된 조건을 생각해보면 (a, b, c)는 반지름 1인 구면 위의 벡터고(x, y)는 반지름 1인 원임.

그렇다면 (ax+by)^2+(bx+cy)^2은 A=(a, b, c)와 B=(x, y, 0)과 C=(0, x, y)의 내적을 적절히 해서 더한꼴이라 볼 수 있는데, 세 백터 다 길이가 1이니까 앞의 항을 cos (AB), 뒤의 항을 cos (AC)의 제곱이라고 생각하자

그러면 기하적으로 이 값이 최대가 되려면 세 벡터 사이의 거리가 최소가 되어야되는데, 우선 B와 C 사이 거리가 최소가 되게 하려면 두 벡터의 내적이 최대가 되면 됨: cos(BC)=xy=cosθsinθ가 최대가 되면 됨- 그러므로 cos (BC)=1/2

그 이후에 그 각도 정확히 가운데에 A 벡터가 있으면 되니까 각AB=각AC=각BC/2=arccos(1/2)/2

이를 다시 cos^2(AB)+cos^2(AC)에 넣으면 최댓값은 2*cos^2(arccos(1/2)/2), 반각공식에 의해 1+cos(arccos(1/2))=3/2

그러므로 저 식의 최댓값은 1.5임을 쉽게 유도할 수 있음