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싱글벙글 1+1=2의 증명, 러셀의 "수학 원리"에 대한 10가지 사실

불안의책갤로그로 이동합니다. 2022.12.07 01:25:02
조회 48404 추천 406 댓글 543




1+1이 왜 2인지 알고 있음?

누군가가 이걸 말했을 때, 많은 사람들이 그걸 떠올릴 거야. 그 괴상한 거.

어렸을 때 수학귀신을 봤다 하더라도 그 파트 하나는 기억에 남겠지.



1+1=2인지를 증명하기 위해 이렇게 적어놓은 괴상한 기호뭉치들.





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바로 이게 수학 원리 - principia mathematica - 에서 나온 거임.



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너무 지루해져선 안되니까 이 책에 대해선 10줄요약으로 대체하겠음.


- 화이트헤드와 유명 철학자인 러셀이 쓴 책이고,

- 20세기 초반 전과 비교하여 논리학이 이렇게 혁신을 이뤄냈음을 극명하게 보여준 책이고,

- 현대 수학 전체를 논리로 설명하려는 첫째 시도를 보여줬음과 동시에,

- 세상을 논리로 설명하려고 했던 위대한 시도, 꿈을 보여주려는 책이지만,

- 작업하는 데 1903년부터 1913년까지 온갖 시행착오를 겪으며 약 10년간의 기간이 걸린 책이고,

- 출판사가 저자들 스스로 인쇄비를 대 줘야만 출판할 수 있다는 굴욕을 겪었고,

- 러셀 스스로도 이 책을 다 읽은 사람은 6명 정도밖에 안 될 거라고 자조한 굉장히 어려운 책이지만,

- 아주 높은 평가를 받아 논리학은 물론이고 수학계, 철학계에도 영향을 미쳐 분석철학이라는 한 조류를 만들고 컴퓨터의 탄생의 기여를 했다고도 평가받으며,

- 비엔나 학파라는 철학의 역사에서 아주 중요한 학파에게 매우 중요한 책이라고 평가받던 책이면서,

- 그 명예는 지금으로까지 이어져 Modern Library 선정 세계 100대 논픽션 북에 선정되기까지 한 책임.







이 책에 대해서 좀 흥미로운 점이나, 통속적인 담론과는 다른 사실들이 많아서,

10가지 사실로 추려서 좀 이야기해볼까 함.















1. 1+1=2의 증명이라 하는 것은 사실 1+1=2의 증명이라 하기 뭐하다


저기서 보이는 Theorem 54.43이 1+1=2의 증명인 것은 맞긴 함.




그런데 이것은 사실 수학 원리 자체의 목표에 대해서 약간 미스한 설명이라고 할 수 있음.

수학 원리의 목표는 수학 전체를 논리학으로 환원하는 것임.

그리고 이를 위해서 논리학 전체를 가장 근본적이고 단순한 것에서부터 쌓아나간 것임.


그러니까, 수학 원리가 원하고자 한 건, 1+1=2의 증명일 뿐만 아니라,

"1"과 "2"를 어떻게 쓸 수 있는지를 증명하고, "+"는 어떻게 쓸 수 있는지 증명하고, "="도 어떻게 쓸 수 있는지 증명하면서,

"1"과 "2"를 어떻게 정의할 것인지, "+"는 어떻게 정의할 것인지, "="는 또 어떻게 정의하는지도 증명하는 것임.


화이트헤드와 러셀은 이 수학 기호를 위해 집합과 명제를 썼음.

너가 수학 공부하면서 "집합"과 "명제"라는 말이 나왔다면 그 이유가 바로 이 책 때문임.

명제가 무엇이고, 명제의 성질들이 뭐가 있는지 다 만들어갔고, 수학을 명제로 구성할 수 있게 베이스를 다 깐 거임.

저기 위에 54.43이라고 써진 걸 봐봐. 이건 그 명제의 번호 이름인데, 그 전에 1부터 53까지도 이런 Theorem들로 가득차 있는 거임.




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사진을 보면 알겠지만, 54.43을 위해 51.231도 쓰고, 13.12, 11.11, 11.35 등을 썼고, 그 각각의 정리들도 또 예전의 정리들로부터 증명했던 것임.

이를 위해서 이 책은 무려"기호를 쓰는 것을 옹호하기 위한 몇몇 주장"부터 시작함. 기호를 쓰는것조차 정당화하고 싶었던 것임. 그리곤 앞으로 쓸 몇몇 기호를 정의한 뒤에,

그 뒤에 몇몇 명제로부터 시작해서 propositional logic(1-5), predicate logic with equality(8-14), introduction to Classes(set)(20), introduction to Relation(sets of ordered pairs)(21)까지 도입하고,

그 뒤에 이 Class, 집합들을 위한 함수 개념을 구성하기 위해 reducing mathematical functions to “functional relations”(22-30), “relations” as “relations in extension”(30-38), restriction(35), Products and Sums of Classes of Classes(40)를 도입한 뒤에,

무려 51이 되어서야 수, 그러니까 number를 정의하려고 시도하고, 52가 되어서야 "1"이 무엇인지를 정의함.

그리고 이 모든 게 이뤄진 뒤에 그제서야 나온 게 54.43, 1+1=2의 증명인 것임.




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수학 원리는 이후에 축약본, 요약본으로 책이 나옴.

거기서는 이 책을 56까지만 두고 있음(원 책은 375까지 있음). 그러니까, 56까지만 봐도 된다는 것임.

56에서 나오는 내용은 뭐냐? "2"의 성질이 무엇인지를 증명하는 것임.





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이게 56의 끝, 요약본에서는 여기에서 내용이 끝난다는 것임.



그래서 이게 무슨 말하려는 건지 알겠음?

Theorem 54.43이 1+1=2의 증명인 것은 사실 이 책의 목표를 생각할 때 약간 빗나간 말임.

54.43뿐만 아니라 그 전에 있는 모든 정리가 사실상 수학을 논리로 정초하려는 시도의 일부인 것임.

그러니까, 54.43과 그 전까지 적혀 있는 이 책의 379쪽 전체야말로 1+1=2의 증명이다 - 라고 하는 게 더 올바른 말임.




예를 들어볼게.

시계 부품을 조립해서 완성체로 만드는 것 하나만 보여준 거나 다를 바 없음.

그에 반해 이 "수학 원리principia mathematica"가 하려는 목표는 그를 위해 시계 부품을 만들고, 그 전에 시계 부품을 어디에 차곡차곡 두는지도 파악하는 것, 그리고 거기서 그치는 게 아니라 시계 부품에 들어가는 철강을 직접 대장장이가 되어서 제조한 뒤에 직접 광부가 되어서 철을 캐내는 것까지라 할 수 있음.


그냥 자연 그 자체에서 시계를 만들어내는 게 이 수학 원리principia mathematica의 목표라고 생각하면 도움됨.















2. 저 증명은 사실 1+1=2의 증명이 아니다




그런데... 사실은, 저 54.43은 1+1=2의 증명이 아님.

이게 ㅅㅂ 뭔 말이냐고 할 거 같지만 일단 들어봤음 함.


저기서 정의한 숫자는 전부 "서수ordinal number"라고 하는 것이라 아님.

그에 반해 우리가 쓰는 수는 "기수cardinal number"라고 불리고, 이 증명은 수학 원리 책의 나중에 나옴.


서수는 뭐고 기수는 뭐냐? 그냥 답하기엔 너무 복잡해서, 그냥 역사적 설명으로 대체하겠음.

원래는 누구도 이 두 가지 수의 개념을 구분하려고 하지 않았음.

그러다 19세기에, 칸토어라는 사람이 그 당시 수학의 몇몇 문제들을 푸는 데 무한의 개념이 진지하게 필요하다는 걸 보임.

그래서 칸토어는 무한이라는 개념을 탐구하기 시작했고, 이를 위해 잘 알려진 집합론을 도입함.

여기서 유한한 수를 세는 것은 똑같지만, 무한한 수를 세는 경우 다르게 행동하는 숫자를 보여냈고, 이를 서수와 기수라고 나눴음.

서수가 좀 더 집합론에 친화된 수라고 보면 되고, 우리가 쓰는 수인 기수는 좀 덜 그렇다고 봤으면 함.




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화이트헤드와 러셀은 서수와 기수 중에서 서수의 성질을 일단 다 논리로 구성한 뒤, 기수를 그 뒤에 쓰기로 함.

54.43은 서수로서의 1+1=2의 증명이고, 그 뒤에 수학 원리 1권은 전부 Ordinal Arithmetic만을 씀.

그 뒤에 2권이 되어야 Cardinal Arithmetic을 쓰고, 110이 되어서야 "+"를 진정으로 정의함.

그래서 사실 진짜 1+1=2의 증명은 200여쪽 더 뒤에 있는 110.643임...















3. 이 책은 3명만 읽은 책이 아니다.




자... 이제부턴 어려운 말은 별로 없을 거니까 좀 마음 풀어줘.


이 수학 원리 - principia mathematica 에 대해서

"이 책을 다 읽은 사람은 러셀과 화이트헤드와 괴델뿐이다" 라는 말이라던가,

"거의 그 누구도 이 책을 이해할 수 없었다" 같은 말이 나도는데,

사실은 많이 틀린 말이라 할 수 있음.


이 책은 정반대로, 그 당시 학계를 충격에 빠뜨리게 한 책임.

왜냐면, 그 전까지는 프레게로부터 시작한 현대논리학이 제대로 못 평가받았는데,

이 책은 그 현대논리학의 힘을 그대로 보여줬기 때문이었음.


이 책은 수학계에서 충격을 줬음.

그 전까지의 수학에서의 반응은 "수학이 아무리 논리처럼 보인다 한들 논리학으로 구성될 수는 없다"가 대세였는데,

이 책은 그 말을 완전히 반박해버리는 물건이었거든.


그리고 철학계에서도 이 책은 굉장히 인기를 끌었음.

그 당시 철학계는 기하급수적으로 발전하는 과학의 발전에 자기를 바꿔야 한다는 불안감에 빠져 있었고,

여기서 에른스트 마흐로 대표되는 과학의 발전을 적극적으로 수용하는 실증주의 학파가 유행했는데,

이 책은 이들의 입맛에 딱 어울리는 책이었기 때문임.


그리고 이 책은 모리츠 슐릭이 창설한 굉장히 영향력 있던 빈 학파를 만드는데 기여했지.

그 유명한 아인슈타인마저도 "의심할 나위 없이 이 책은 내 손 안에 들어온 수학의 형성에 관한 책 중에서 가장 재미있는 책이다"라고 했음.


1권만 관심을 가지고 2권과 3권에 관심을 안 가진다는 말이 있는데 그건 확실히 맞는 말이긴 함.

하지만 그 당시에 3권까지 읽은 사람들도 많았음.


러셀이 인터뷰에서 이렇게 말했다고 함. "2권과 3권을 읽은 사람을 딱 여섯 명 알고 있었는데 그중 세 명은 폴란드인이었다. 그런데 나중에 히틀러에게 제거된 것 같다. 나머지 셋은 텍사스 사람인데 나중에 사회생활에 성공적으로 적응했다."

그런데 사실 알프레드 타르스키도 있고, 적어도 폴란드인 유명 논리학자인 Chwistek, Leśniewski도 살아남았고, 뭐 이런 거로 볼때 이건 사실 그냥 드립인듯함. 러셀은 그 당시에 유머러스한 말을 많이 했거든.















4. 이 책은 러셀이 쓴 책이 아니다.





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수학 원리가 명성을 한창 얻던 어느 때, 뉴스 기사 하나가 나왔음.

신문기사에선 "러셀이라는 이 시대의 중요한 철학자가 수학 원리라는 책을 썼다" 따위의 평범한 글이 적혀 있었다 함.


러셀이 이 기사를 보자마자 노발대발 분노하며 당장 신문 발행을 그만두고 수정하라고 했다 함.

왜 그랬을까?




이유는, "이 책은 러셀만이 쓴 게 아니라 화이트헤드와 공저한 것이기 때문".

그 신문기사에선 화이트헤드에 대해 전혀 적혀 있지 않았던 거지.


현재를 봐도, 이 책이 알려지는 방식을 보면 러셀은 잘 나와도 화이트헤드와 공저했다는 사실은 그다지 부각되지 않는 것 같음.

실제로 화이트헤드는 나쁜 지도교수마냥 proofreader 역할만 하고 이름만 붙인 역할이 아니었음.

수학 원리라는 이 책의 독창적인 방식, 그러니까 "ramified type theory에 환원 가능성 공리를 추가"한다는 발상으로 글을 쓰기 전까지 그 몇년동안 논리학 초안들을 구성하다가 다시 갈아엎는 것을 반복했는데, 이때 러셀과 화이트헤드가 계속 같이 작업을 했고,

정수환과 유리수체, 실수체 구성을 다루는 수학 원리의 3권은 오직 화이트헤드만이 담당했다는 썰도 있음.



사실은 좀 신기한 점이지. 책 표지에서 러셀과 화이트헤드 중에 더 위에 나와있는 사람은 화이트헤드고,

학계에선 이 위치가 앞에 있을수록 더 중요한 권위에 있다고 말하니까.















5. 이 책은 그다지 어렵지 않다




이 책이 어려워 보이는 가장 큰 이유는 구시대적인 노테이션 때문임.

노테이션이 뭐냐면, 기호 표기하는 방법을 뜻함.

그래서 논리학 철학이나 수학 공부하는 사람에게 이걸 보여주면 이해 못하겠다고 하는 것임.


그 당시엔 논리학의 모든 노테이션이 모조리 없던 상태였고(당연히),

그래서 공집합을 Λ로 두는 등 수많은 곳에서 지금과 다른 점을 보임.

그러면 노테이션을 현대화하면 어떻게 되느냐?




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이렇게 됨.

자, 아직도 기호뭉치이긴 한데,

이과생이라면 이걸 볼때 "응?" 거릴 거라고 봄.

그렇게 막 초월적으로 어려운 부분이 있거나 그렇지는 않거든.















6. 이 책은 진짜로, 그다지 어렵지 않다




이 책을 공부 안하는 이유는 어려워서가 아니라 시대가 지났기 때문임.

"이 세상에서 가장 어려운 책"이라는 말은 절대, 절대 아니라고 할 수 있음.

사실 노테이션만 알면 굉장히 차근차근히 정리를 제시하는, 어렵지 않은 책이라 할 수 있음.


내가 56까지 진행한 바로는,

흔히 수학과 학부권에서 아주 어려운 책으로 알려져 있는 Serge Lang의 Algebra보단 확실히 쉽고,

아무리 봐도 그냥 어렵다고 평가받는 Rudin의 RCA보다도 더 쉬운 책인 것으로 보임...

또한, 철학 권에서도 봐도 이 책보다 더 어려운 책들이 있음.

하다못해 같은 화이트헤드가 쓴 "과정과 실재"란 책이 이 책보다 더 어려운 것 같음.















7. 수학 원리 4권이 있을 뻔했다




4권이 있을 뻔했고, 4권은 기하학을 주제로 다루려고 했음.

그런데 왜 안 나왔느냐?






"콕콕"









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"들어오게나."





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"안녕하세요, 화이트헤드 교수님."





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"러셀, 지난 7시간동안 잘 쉬었나? 오늘도 할 일이 많다네. 이번에는 수학 원리 4권을 기획해볼까 하는데."





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"저... 화이트헤드 교수님."





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"왜?"





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"이 일이 너무 힘든 것 같고 고된 것 같습니다... 지난 10년간 이 작업을 해오면서 행복했던 적이 아예 없다시피 하는 것 같습니다."

"감정 기복이 너무 심해서 분명 이쪽에 병이 있을 거라고 장담합니다... 여기에 쓸 수 있는 것을 떠올리면 조증 증세가 막 나다가 다시 꺼지고, 그러면 한도 끝도 없이 우울해집니다."

"일이 안 풀릴 때는, 지나가는 열차를 보면서, '내일은 꼭 저 열차 밑에 드러누워야지' 하고 생각하곤 합니다..."

"지난 10년간 이 작업을 해오면서, 즐거웠던 날은 한달 내지 두 달밖에는 되지 않을 것입니다..."





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"그렇구만."

"이번 4권의 주제는 기하학이네."





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"..."





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"러셀, 혹시 점에 대해 알고 있나?"





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"네?"





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"점. point. 기하학에서 쓰이는 0차원의 대상 말이네. 유클리드 기하학에선 이걸 증명의 대상으로 두지 않고 '무정의 용어'라 해서 그냥 사용하잖아."





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"알고 있습니다."





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"우리 한번 점에 의존하지 않는 기하학을 구성해봤으면 하네. 난 언제나 점이 과도하게 추상화되었다고 생각했네."

"점보다 더 근원적인 것을 두고 거기서부터 기하학의 대상을 증명했으면 좋겠네. 점은 지금처럼 무정의 용어가 아니라 나중에 증명 대상이 되는 걸세. 이렇게 하면 더 엄밀하게 기하학을 증명할 것 같은데, 같이 해보겠나?"





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"..."





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"..."














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... 4권은 러셀과 화이트헤드의 의견 차이로 만들어지지 못했고, 결국 수학 원리에서 기하학은 이뤄지지 못한 채 3권으로 남았다 함.















8. 이 책에도 문제점은 있었다




이 책이 이렇게나 논리적인 것처럼 보여도, 비논리적인 면이 있었음.

그러니까 다시 말해, “완벽한 책”이라고 할 수는 없다는 것임.


그리고 그런 문제점은, 유명한 괴델의 비판 그 전에도 있었음.



첫째로, 무한 공리와 선택 공리를 논리학의 기본 법칙으로 받아들였다는 것.


선택 공리가 무엇인지 설명하기엔 너무 길어질 거 같아서 설명 안하겠음. 대신 무한 공리만 말함.


어떤 것이 무한함을 밝히려면 어떻게 해야 할까?

무엇인가가 엄밀하게 무한함을 밝히기 위해선 “적어도 한 무한집합이 존재한다”라는 명제가 필요한데,

이 명제는 다른 논리학의 기본 법칙들로 도출해낼 수가 없음.

그런데 이러한 무한성이 실수를 구성하는 데에 꼭 필요한 상황.

화이트헤드와 러셀은 그래서 이 명제를 그냥 공리로 두었음.

논리를 최대한 추구하려고 했던 이 책을 생각하면 어떤 허점인 편이지. 그래서 이 점을 비판한 철학자와 수학자들이 있었음.



둘째로, 이보다 더 문제가 심한 공리가 하나 있었음.


화이트헤드와 러셀이 쓴 ramified type theory는 그들이 그 전까지 쓰려고 했던 다른 논리학 이론의 다른 점들을 확실하게 보완할 수 있었지만, 큰 단점이 하나 남았음.

이 ramified type theory는 어떤 역설을 일으키는 명제 몇몇을 막기 위해 어떤 제한을 걸었는데, 그 중에서 “공집합이 아닌 상계를 지닌 실수의 집합은 모두 최소 상계를 갖는다” 같은 명제도 정식화할 수 없게 제한을 걸어버림.

자, 지금 저 명제는 일반인들이 보기엔 어려워 보일 수 있겠지만, 수학을 조금 공부해보았다면 저 명제가 굉장히 중요하면서 근본적인 명제임을 알 거임. 저 명제가 없으면 해석학의 중요한 정리인 볼차노-바이어슈트라스 정리를 쓸 수가 없을 거임. 이과생이라면 중간값 정리는 알 거 같은데, 그거 엄밀하게 증명하려면 저 정리가 필요함.


그래서 그들은 이것에 대한 보완책을 세움. 그것이 바로 “환원 가능성 공리”라고 하는 것.

“높은 형의 임의의 명제는 1형의 한 명제와 동등하다”라고 하는데, 이걸 그냥 공리로 둔 거임.


환원 가능성 공리가 뭔지 설명하는 대신 비유를 들어보겠음. “이 세계를 지키는 것은 코끼리입니다. 이 세계 아래에 코끼리가 있어서, 세계를 받춰주기 때문에 이 세계가 있는 것입니다. “그렇다면 코끼리 발 아래엔 무엇이 있습니까?” “거북이가 있습니다.” “그렇다면 그 거북이 아래엔 무엇이 있습니까?” “또 다른 거북이입니다.” “그 아래에도 거북이가 있습니까?” “그렇습니다.” “한 거북이가 조금이라도 다르게 행동한다면 모든 거북이와 코끼리와 세계가 무너지는 것 아닙니까?” “그러지 않습니다. 모든 거북이는 코끼리 바로 아래에 있는 거북이와 똑같이 행동합니다.” “어찌 그렇습니까?” “어찌 그렇다니요? 당연하잖아요.”


프랭크 램지라는 사람은 “그런 공리는 수학에서 설 자리가 없다. 그리고, 그것을 사용하지 않으면 증명할 수 없는 것은 증명되었다고 전혀 볼 수 없다”고 했음.

헤르만 바일은 “논리학의 근본 법칙이라고 하기엔 아주 강력하다못해 환상적인 공리이다. 우리가 살고 있는 현실 세계에서는 그것에 대한 정당성이 거의 없는데, 논리학자의 파라다이스에는 아무래도 그런 게 있는 거 같다” 라고 아예 조롱하기도 했음.

푸앵카레는 이 공리는 대체 다른 공리와의 무모순성을 어떻게 보여주느냐는 - 꽤 예언 조에 가까운 - 말을 하기도 했음.


그래서 수학 원리는 제 2판에서 이 부분을 수정했음. 이 공리를 언급하며 "이 공리는 순전히 실용적인 정당성을 가지고 있다. 이것은 바라는 결과 이외는 아무것도 이끌어내지 않는다. 그러나 분명히 우리가 만족할 수 있는 종류의 공리는 아니다"라고 시인하다시피 하며, 환원 가능성 공리를 되도록이면 쓰지 않는 방식으로 했는데, 이건 이것대로 문제가 산재했음.

비트겐슈타인의 말대로 “1+1=2인 걸 환원 가능성 공리 없이 증명한 것 외에는 아무것도 달라진 게 없다”에 가까웠거든.















9. 화이트헤드는 완전 틀었다




이 책, 수학 원리를 쓴 화이트헤드와 러셀 중에서, 러셀은 그 뒤로도 수학 원리를 계속 옹호하고, 논리학은 그 이전의 철학을 대체할 것이고, 인간의 사고 능력과 과학 기술의 발전에 큰 도움을 줄 것이라는 논지를 계속 펼쳤음.


하지만 화이트헤드의 태도는 이 책을 쓴 이후로 많이 달라졌음.



분명 화이트헤드도 러셀도 이 책을 쓰기 전까진 논리학의 일반성과 보편성을 과신했을 것임.

적어도 확신할 수 있는 건, 이 책을 쓰는 데 10년이란 시간이 걸릴 거라고 절대 상상하지 못했을 것이고, 1+1=2를 증명하는 데 300쪽인지 500쪽인지나 써야 할지 절대 생각하지 못했을 것이고, 그 뒤에도 몇몇 공리와 의문스러운 몇몇 방식들이 걸려 아직도 태클이 걸릴 것이라 절대 생각하지 못했을 것임.


그는 이해할 수 있을 만한 이런 연유로 - 괴델이 그 일을 저지르기 전에 이미 - 철학의 목적은 논리학에 있지 않다는 논지를 펼치고, 나중에 1927년 “과정과 실재”라는 글을 쓰면서 아예 러셀과는 전혀 다른 형태의 사변을 사용한 철학을 펼침.


거기서 나오는 말을 하나 인용하겠음. 얼마나 생각이 달라졌는지 볼 수 있을 거임.

“철학은 오랫동안 다음과 같은 잘못된 생각에 사로잡혀 왔다. 즉 철학의 방법이라는 것은 명석판명하고도 확실한 전제를 독단적으로 명시해야 하고, 나아가서 그러한 전제들 위에 연역적 사상 체계를 구축해야 한다는 것이다.

그러나 궁극적인 일반성을 정확히 표현한다는 것은 논의의 목표이지 그 출발점은 아니다. 철학은 수학의 본보기로 말미암아 오도되어 왔다. 수학에서조차도, 궁극적인 논리적 원리에 관한 진술에는 아직도 극복할 수 없는 난점이 따르고 있다.”


수학에서조차도, 궁극적인 논리적 원리에 관한 진술에는 아직도 극복할 수 없는 난점이 따르고 있다”라…















10. 괴델이 한 것




사실 저 위에 있는 램지나, 바일이나, 푸앵카레 같은 사람들도 이 책이 정말 그렇게 완벽한 책이 아님은 알고 있었음.

특히 일관성, 무모순성 문제가 그렇지.

하지만, 여기서 괴델이 한 일은 정말 핵심을 찌르는 것임.



완전성의 문제라고 해서, 간단히 말해 “모든 참인 논리 명제가 참임을 증명하고 모든 거짓인 논리 명제가 거짓임을 증명할 수 있는 것”임. 이걸 증명해보려 한 거지.

괴델의 정리가 유튜브에도 나오는 지금은 이것부터 먼저 가르치니 별거 아니라 느껴지지만, 이게 굉장히 비수를 찌르는 생각이었음.

수학 원리를 어떻게 구성하겠다고 스케치한 러셀의 예전 책 “수학의 원리The Principles of Mathematics”은 1903년에 나왔고, 수학 원리 principia mathematica 는 1910년부터 1913년부터 나왔는데, 괴델이 완전성 연구를 실행한 건 1929년이니까, 한 30년의 간격이 있는 거임.

그 동안 아인슈타인과 힐베르트, 폰 노이만을 포함한 수많은 천재가 있었는데 이 완전성이란 맹점을 생각하지 않았음을 생각하면, 괴델이 이 근본적인 성질을 생각한 것은 그가 진실로 천재라는 점을 보여준다 할 수 있겠지.


괴델이 보여준 것은 두 가지가 있음.

첫째는, 간단히 말해, 이 수학 원리 책의 체계를 포함한 수학을 다루는 체계는, 전부 완전성이 성립하지 않는다는 것임 - “참이나 증명할 수 없는 명제”가 있다고 제시한 것임.

둘째는, 간단히 말해, “‘수학 원리의 체계 혹은 수학을 다루는 체계’의 무모순성”이, 바로 그 “참이나 증명할 수 없는 명제”에 속한다는 것임.


(이 글을 괴델의 불완전성 정리를 알지 못한 채 읽고 있다면 괴델이 무엇을 했는지는 꼭 다른 글이나 영상이나 책을 가지고 읽기 바람. 나보다 더 능력있는 사람들이 훨씬 더 잘 설명했음. 이 증명은 이 증명만의 중요한 내용이 있음. 지금 저 위의 설명은 나무위키보다도 더 정확도가 낮음)



많은 사람들이 이 정리를 두고 “수학 원리”를 침몰시킨 존재라고 하던데…

솔직히 그게 맞는 말인지 잘 모르겠음.

물론 수학 원리의 목표였던 논리주의는 이 정리로 말그대로 history, 더 이상 연구주제가 되지 않는 것으로 되긴 했지.

하지만, 애초에 이 책이 수학을 논리학으로 구성하려고 하지 않았다면, 그래서 수학에서의 사유 과정을 기호로 표시하려는 시도를 하지 않았다면, 괴델의 정리가 나오는 그 논문은 아예 쓸 수조차 없었을 것임.

또한 수학 원리와 동시에 괴델에 관심가진 튜링과 처치 같은 사람이 컴퓨터를 고안하게 된 계기가 되었고.

이 기호뭉치에 누구도 안 볼 거 같은 책은 Hao Wang 같은 초기 컴퓨터과학자들에게 큰 도움이 되었음. 이 책의 극단적인 기초부터 지난하게 진행되는 정리들의 나열들이 고급증명기계나 다를 바 없던 초기 컴퓨터에서 프로그램을 짜낼 대상으로 정말로 잘 어울렸거든.

그래서 그런지 피터 왓슨은 수학 원리를 두고 소프트웨어의 할아버지라고 했고.

이렇게 보면, 정반대이지 않을까.

우리는 수학 원리principia mathematica의 유산에 살고 있다고.







출처: 싱글벙글 지구촌 갤러리 [원본 보기]

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