1편 팩토리얼: https://gall.dcinside.com/board/view/?id=ncdinos&no=4754170&page=3

2편 순열: https://gall.dcinside.com/board/view/?id=ncdinos&no=4754622&page=2

(수정:댓글에 링크 달아야되는거 까먹었다 ㅈㅅ 댓에 달아놨으니 안본사람들은 보고와라)

위의 1, 2편 안봤다면 이해하기 좀 힘들테니까 보고 전부 개추 박아주고 오는걸 강추^^

하... 걍 즉흥적으로 꼴리는대로 글을 쓰는거라서 뭐 워드같은거에 쓰고 저장한다던가 하지는 않았는데...

대부분 눈치챘겠지만 계획한게 아니라 꼴리는데로 막쓴거라서 글의 전개나 플로우? 같은게 좀 이상할거다

어차피 30분정도면 끝나서 중간에 끊길 일은 없다고 생각했는데

방금 거의 끝나가던거 실수로 창 꺼버려서 처음부터 다시시작한다 ㅅㅂ...

개념글도 못가는거 그만둘까 하기도 했지만 그래도 순열까지했는데 조합을 안할순 없지

처음에 개추 3개 받는거 목표로(이전 최고기록: 라이트는 마산아재들보다 와이프 얼굴빼고 나은게 없다고 개드립쳐서 2개받음) 시작한게 이렇게 됐네

그래도 개추 많이줘서 고맙다

어쨌든 쓸데없는 소리는 그만하고 바로 시작할게

지난번에 했었던 '순열'은 n개중 r개를 골라 순서대로 배열하는 경우의 수를 구하는데 쓰였고, 이를 nPr이라고 나타냈어

그런데 오늘 설명할 '조합'은 n개중 r개를 선택하는 경우의 수야

그 뜻은 선택한 것들을 나열하는 경우의 수를 곱할 필요는 없다는 거고, 그래서 값은 순열보다 크지 않아(작거나 같음)

순열이 (n개중 r개를 고르는 경우의수) x (선택된 r개를 나열하는 경우의 수) 인데

조합은 이중에서 (n개중 r개를 고르는 경우의 수)만 쏙 빼내면 돼

그러면 순열에서 (선택된 r개를 나열하는 경우의 수)를 나누면 조합이 되는거지

Q.한국 프로야구에서 리그 수준 저하를 이유로 3팀을 퇴출시키기로 결정했을 때, 이 3팀의 경우의 수는?

이 질문을 그냥 보면 꼴데, 한화는 당연히 퇴출되어야 하니까 엔씨, 그리고 이미 퇴출확정인 꼴데, 한화를 제외한 7팀중에 하나를 골라서 더 퇴출하면 되겠네!@ 그러면 경우의 수는 7C1....

이런식으로 생각할 수 있지만, 지금은 조합에 대해 알려주려고 낸 문제니까 10팀중 3팀을 랜덤으로 퇴출한다고 치자

먼저 10P3의 값을 구해보자

10P3 = 10 x 9 x 8 = 720 이다

그런데 이 식에서 뽑힌 3팀을 순서대로 나열하는 경우의 수를 나눠야 겠지?

그러면 10C3 = 10P3 / 3! = 10 x 9 x 8 / 3 x 2 x 1 = 120 이고, 문제의 답은 10가지가 맞다

여기서 위의 식은 n자리에 10이, r 자리에 3이 들어간거니까 이걸 n, r로 나타내면

nCr = nPr / r! = n x (n-1) x ... x 2 x 1 / r x (r-1) x .... x 2 x 1 이다

사실 뒷쪽의 복잡한 식은 팩토리얼, 순열 뜻만 잘 알면 바꾸기 쉽고, 쓸모도 거의 없어서 필요할때(나처럼 이런 글을 쓸 때 쓸 수 있음)만 바꿀 수 있으면 됨

진짜 중요한건 지금부터인데, 그건 바로 nCr을 전부 팩토리얼로 나타내는거다

사실 이것도 nPr을 우리가 알고있는 n! / (n-r)! 으로 바꾸면 되는거임

그러면 nCr = nPr / r! = n! / (n-r)!xr! 가 된다

사실 타이핑으로 식을 나타내니 이해가 힘들거 같다(그나마 경우의 수가 제일 타이핑으로 나타내기 쉬워서 선택했는데)

이 사진을 보면 내가 무슨 소리를 하려고 했는지 훨씬 더 이해가 잘갈거다

위의 식이 내가 처음에 말하던 내용이고

밑의 식이 순열과 조합의 관계를 이용해 조합을 팩토리얼로 나타낸거임

말만 번지르르하지 별로 어렵지는 않음

그런데 마지막의 저 식을 보면 분수인데, 분수라면 '혹시 저게 항상 자연수로 나오는게 맞을까?'하는 의문이 들꺼다

경우의 수라서 절대 분수 범위로 가지 않는데, 그래도 희한한 수들을 대입하다 보면 자연수가 아닌 수가 나올 수도 있을거 같다

그래서 이걸 증명하는게

이 짤인데

나도 솔직히 전혀 이해 못하겠다;;

처음 보는 기호들도 나오고

혹시나 보고싶은 엔붕이들을 위해 댓글에 링크는 남겨 놓는다

쨌든 이제 다시 조합으로 돌아가서, 조합의 중요한 성질을 하나 알고 가자

그건 바로 nCr = nCn-r 이라는 것이다

이걸 처음본다면 당연히 '이게 항상 성립한다고?' 라는 의문점을 가질 수 있으나, 예시를 이용해서 생각하면 너무 쉽다

아까전의 10개 팀중에 3개를 리그에서 퇴출한다는 문제를 예로 들어보자

10개 팀중에 퇴출할 3개를 정하는 것과, 10개 팀중에 퇴출하지 않을 나머지 7개팀을 정하는 경우의 수는? 당연히 같다

만약 순열이라면 팀들을 정한 후에 순서를 나열해야되서 값이 달라지지만,

조합은 그냥 정하기만 하면 되서 nCn-r 과 nCr이 같을 수 있다

여기까지 이해를 했으면 쉬운 경우의 수는 거의 다 한거라 보면 된다

내용은 그렇게까지 많진 않은데

경우의 수를 어렵게 만드는건 문제들마다의 조건을 잘 파악하고, 조합을 사용할지 순열을 사용할지, 그렇다면 n과 r을 각각 어떤 값으로 잡아야 하는지

이런 디테일한 부분들에서 좀 어려워지는거다

그 중 하나가 뽑히는 것들이 동일한 경우이다

문제에서 '동일한 사과' 라고 줬으면 사과를 a, b 로 구별하지 말고 그냥 전부 같다는식으로 간다

Q.그러면 동일한 사과 5개중 3개를 고르는 경우의 수는?

이런식이면 그냥 1이라고 하면 될꺼다

그런데 문제들이 ㅈㄴ 복잡하게 만들어지기 시작해서

Q.똑같은 사과 4개와 서로 다른 배 3개, 서로 다른 귤 2개중에 5개를 고르는 경우의 수는?

이딴식으로 나오는 경우가 있다... 막 만들어낸거라서 말은 좀 안되지만 이딴식인 문제들이 실제로 나온다

제일 좆같았던거는 신발/양말 가지고 문제를 낸거다

Q. 똑같은 구두 10켤레 중 3개를 고르고 서로 다른 색의 양말 6켤레 중 2개를 고르는 경우의 수는?

이때 내가 멍청하게도 '똑같은'이란 말만 보고 동일한 구두 20개중 3개 뽑는건데 걍 1이라고 봐도 무방하구나, 그럼 양말의 경우의 수만 풀면 되겠다' 이러고 했는데

구두 10켤레는 오른쪽, 왼쪽이 있어서 또 경우의 수가 생겼다

이런식으로 경우의 수는 상황파악하기 힘들게 만들어놓은 문제들이 참 많다

너무 상황을 꼬아놓거나 노가다를 돌리게하는 문제가 아니면

그래도 꽤 재밌게 느껴지는 것들 중 하나이다

어제 1편 글쓰고 잡짓하다가 5시에 자서 오늘은 좀 일찍자야겠다...

엔붕이들 다들 읽어줬으면 고맙고 잘자라!