블록체인 기반 암호학 연구소 라그랑주 랩스(Lagrange Labs)가 UC버클리, 홍콩과기대, 예일대와 공동으로 영지식 증명(zk-SNARK) 기술의 핵심 난제를 해결한 연구 논문을 발표했다.

논문 제목은 "Efficiently Provable Approximations for Non-Polynomial Functions"으로, AI 추론, 금융 알고리즘, 궤도 역학 등 복잡한 실세계 연산을 영지식 증명 환경에서 효율적이고 정확하게 검증할 수 있는 프레임워크를 제시한다.

영지식 증명이란 연산의 결과가 올바르다는 사실을, 입력값을 공개하지 않고도 암호학적으로 증명하는 기술이다.

프라이버시 보호와 연산 신뢰 확보가 동시에 필요한 블록체인, 분산 금융(DeFi), AI 검증 분야에서 핵심 기술로 주목받고 있다.

그러나 영지식 증명 시스템은 구조적으로 나머지 연산 기반의 정수 세계에서 작동하도록 설계되어 있어, 실수 연산이 필요한 현실 세계의 함수들을 다루는 데 근본적인 한계를 안고 있었다.

머신러닝의 활성화 함수, 금융의 지수·거듭제곱 함수, 내비게이션의 삼각함수처럼 본질적으로 다항식이 아닌 함수들이 바로 그 대상이다.

기존에는 이 문제를 룩업 테이블, 구간별 선형 근사, 테일러 급수 등 세 가지 방식으로 해결해왔다.

룩업 테이블은 입력값에 대한 출력을 미리 저장해두는 방식으로 정확도는 높지만, 32비트 도메인에서는 테이블 크기가 수 기가바이트에 달해 현실적으로 사용이 어렵다.

구간별 선형 근사는 입력 범위를 잘게 쪼개 각 구간을 선형 함수로 근사하는 방식으로, 정확도를 높일수록 증명 비용이 함께 올라가는 구조적 한계가 있다.

테일러 급수 같은 다항식 근사는 미분 가능한 함수라면 다항식으로 근사할 수 있다는 이론에 기반하지만, 정확도를 높이려면 다항식의 차수를 올려야 하고 이는 곱셈 횟수와 오차 누적을 동시에 악화시킨다.

라그랑주 연구팀이 주목한 핵심 개념은 '승산 깊이(multiplicative depth)'다.

고정소수점 연산에서 곱셈을 반복할수록 반올림 오차가 층층이 쌓이는데, 기존 방식들은 정확도를 높이는 과정에서 이 깊이가 함께 늘어나는 구조적 문제를 피하지 못했다.

라그랑주는 이 문제를 해결하기 위해 두 가지 새로운 기법을 도입했다.

첫 번째는 파데 근사(Padé approximants)로, 함수를 분자와 분모 각각의 다항식 비율로 표현하는 방식으로, 같은 정확도를 달성하는 데 필요한 다항식의 차수를 테일러 급수 대비 절반 수준으로 줄일 수 있다.

실험 결과 파데 근사는 기존 수치 근사 방법 대비 최소 2배에서 최대 20배 빠른 증명 성능을 보이면서도 정확도 손실은 유사하거나 더 낮았다.

두 번째이자 더 중요한 기법은 가우스-르장드르 구적법(Gauss–Legendre quadrature)이다.

적분을 특정 점들에서의 함수값에 가중치를 곱해 합산하는 방식으로 근사하는 수치 적분 기법으로, 라그랑주는 이를 영지식 증명에 최초로 도입했다.

연구팀은 sigmoid, tanh, 지수함수, 삼각함수 등 많은 비다항 함수들이 그 역함수를 미분하면 단순한 사칙연산으로 표현된다는 사실에 주목했다.

이를 활용하면 복잡한 비다항 함수를 적분 형태로 바꿀 수 있고, 정확도를 높이더라도 승산 깊이가 4 이하의 상수로 유지된다.

정확도를 높일수록 합산 항의 수만 늘어날 뿐 곱셈의 깊이는 늘어나지 않는다는 것이 이 기법의 핵심이며, 덧셈을 통한 오차 누적은 곱셈에 비해 훨씬 안정적이기 때문에 더 높은 정확도를 훨씬 낮은 비용으로 달성할 수 있다.

라그랑주 연구팀은 프로덕션 수준의 영지식 증명 도구인 Noir 언어와 Barretenberg 백엔드(UltraPLONK)를 사용해 두 기법을 실제로 구현했다.

삼각함수, 활성화 함수, 거듭제곱 함수, 그 밖의 특수 함수 등 8가지 비다항 함수에 대해 기존 방법들과 성능을 비교한 결과, 가우스-르장드르 구적법은 입력값의 범위가 클수록 기존 방법 대비 최대 8비트 더 높은 정확도를 달성했으며 이는 절대 오차 기준으로 최소 2배에서 최대 256배 개선된 수치다.

검증자 시간은 모든 실험에서 3~5밀리초 수준으로 일정하게 유지됐다.

라그랑주는 실제 산업 응용에서도 기술의 유효성을 입증했다.

궤도 역학 분야에서는 천체의 궤도 위치를 계산하는 케플러 방정식 증명에 이 기법을 적용했으며, 기존 테일러 급수 대비 2~5비트 더 높은 정확도를 유사하거나 더 빠른 속도로 달성했다.

DeFi 분야에서는 토큰 교환 비율을 결정하는 Bancor 프로토콜의 비선형 가격 결정 함수 증명에 적용해 기존 대비 2~6비트 더 높은 정확도를 확보했다.

이번 연구의 의미는 단순한 수치 근사 기술의 개선에 그치지 않는다.

머신러닝 모델은 sigmoid, GeLU, softmax, tanh 등 비다항 함수들로 구성되어 있으며, 이 함수들을 효율적으로 검증하는 능력은 검증 가능한 AI, 이른바 zkML 구현의 핵심 전제 조건이다.

라그랑주가 이번에 제시한 프레임워크는 곱셈의 사슬 대신 덧셈의 합산으로 오차를 관리함으로써, 현실 세계의 복잡한 수학을 영지식 증명 세계 안으로 끌어들이는 데 한 걸음 더 나아갔다.