조금 어려운 이야기니까 수학 못하는 게이들을 잠시 짜져있어라.

고교 이과수학.... 그러니까 수2 (요즘도 수2라고 하는지는 모르지만)에서 배우는 매개변수 방정식의 자취라는 것이 있다. 이 때 다들 배우는 것이 싸이클로이드(cycloid)이다. 이건 평평한 바닥에 원을 놓고 굴렸을 때, 원주상의 한 점이 그리는 자취가 싸이클로이드지.

싸이클로이드 말고, 아스테로이드라는 매개변수방정식의 자취가 있어. 이건 큰 원 안에 1/4 크기의 원을 내접시켜 굴렸을 때, 작은 원의 원주상 한 점이 그리는 자취야. 

이걸 그리면 다음과 같은 그림이 된다. 빨간색 별모양이 바로 아스테로이드의 자취가 된다. (그림은 구글 검색.)

아스테로이드 매개변수 방정식을 유도하면 (유도과정은 길고 복잡하니 생략한다.) x=(cos theta)^3 , y=(sin theta)^3 로 쓸 수 있어.

그런데 이 아스테로이드에는 재미있는 성질이 하나있다. 아스테로이드상의 한 점에서 접선을 그어 x축과 y축에 의해 잘리는

선분의 길이가 항상 일정하다는거야. 그리고 그 선분의 길이는 위 그림에서 4a에 해당하는 큰 원의 반지름 길이가 되지.

그림으로 그리면 이러하다. 이 그림에선 큰 원이 4a가 아니라 1로 그려져있다만 하여간.

자, 이제 감이 오냐?

바로 저 선분의 자취가 모리스 라크로아 미스테리우스 세컨드의 초침이 그리는 궤적과 일치한다.

그러면 이걸 기계로 구현하려면 어떻게 하면 좋을까?

매개변수로 나타낸 아스테로이드상의 한 점, ((cos theta)^3 , (sin theta)^3) 상에서 그은 접선의 방정식은,

y = -tan theta ( x - (cos theta)^3 ) + (sin theta)^3 로 표시된다. (역시 수식 유도는 생략한다.

매개변수의 미분을 이용하여 기울기 구해서 식풀면 바로 나온다. 이거 계산 못하는 이과졸업생은 없으리라 본다.)

이 접선의 x절편과 y절편을 구하면 각기 cos theta 와 sin theta 가 되지.

(그래서 x,y축에 의해 잘리는 선분 길이가 일정한거다. 제곱해서 더하면 상수가 되거든.)

이 이야기인 즉슨, 선분의 중점, 다시말해 점 (cos theta / 2 , sin theta / 2)의 자취역시 제곱해서 더하면 상수.

다시 말해 이 점의 자취는 최초의 원에 대해 크기가 절반(2a)인 원을 그린다 이거야. 이걸 그려보면

빨간색 아스테로이드 궤적내에 깔끔하게 접하는 원이 그려진다. 

무슨 소리냐면 말야, 가장 큰 원(초침의 전체영역)의 반지름을 4라고 하면

반지름 2짜리 원을 중앙에 위치시켜. 이 원을 편의상 원A라고 하자.

그리고 원A의 원주상에 같은 반지름 2짜리 원B를 얹어. 원B는 지름에 매직으로 표시를 한다.

원A를 회전시킴에 따라 원B는 공전을 시작하는데, 이 때 원B를 같은 속도로 자전시키는거야.

그러면 매직으로 그은 원B 지름이 바로 아스테로이드상의 한 점에서의 접선의 궤적을 그린다.

즉, 미스테리우스 세컨드의 초침 움직임이라는거지.

즉 미스테리우스 세컨드의 매커니즘은, 저 커다란 초침운동 영역의 

절반크기 원을 회전시키면서, 원주상에 같은 기어비로 회전하는 축을 설치하고

그 축위에 초침바늘을 얹은거야. 그리고 그 영역을 원판으로 덮어서 안보이게 만든거지.

(덮은 원판도 같은 속도로 회전)

고교 이과 수학을 제대로 공부한 게이들은 다들 이해했으리라 생각한다.

(문과는 저리 가라.) 참고로 난 고교 졸업한지 20년 더 지났다. 용케 아직도

공식들이 생각이 나네. ㅋㅋㅋ.