삼각치환 .. 대충 x = asin(u) 라든가 그런식으로 잡아서

루트를 없애는 기법 자체는 알겠습니다만 이게 원래 되는건지 이해가 안되네요.

한마디로 단지 역치환을 삼각함수로 치환했을 뿐인 것인지, 아니면 특별하게

오직 삼각함수라서 가능한 것인지가 궁금합니다.

(물론 삼각항등식들의 존재 때문에 삼각함수를 쓴다 뭐 이런게 궁금한게 아니고,

다른 것으로 치환해도 식 자체에는 문제가 없냐는 뜻입니다. 비록 적분은 못풀겠지만)

원래 적분식에서 x는 그냥 변수에 불과한데, 이걸 마음대로 치환해서

dx/du = acos(u) , dx = du acos(u) 로 생각하고

integral  1/root(a^2 - x^2)  dx 를

integral acos(u)/root(a^2 - (acos(u)^2))  du

이렇게 해주는 게 항상 가능한가요?

가령 acos(u) 가 아니라 다른 것.. 뭐 예를들면

x = au^4 로 치환하고

dx/du = 4au^3 이고 dx = du 4au^3 이니

integral 1/root(a^2 - x^2) dx = integral 4au^3/root(a^2(1 - u^8)) du

이렇게 치환해도 이거 자체는 동치가 맞나요?

(물론 저렇게 치환해봐야 적분은 못 푸니 아무런 의미는 없습니다만)

짧게 결론만 말하면 삼각치환이 오직 삼각함수라서 가능한건지

그냥 치환을 삼각함수로 해서 삼각치환인지가 궁금합니다.

답변 부탁드리겠습니다.