이산수학 주사위 생성함수(generating function)

짝수 합이

홀수 합이 ㄴ

 

[이산수학] 생성함수에 대해 잘 아시는 분꼐 두가지 질문드립니다.

https://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=134889&page=2

 

구분이 되지 않는 6개의 주사위를 던졌을 때 나올수 있는 모든 경우의 수를 나타내는 생성함수는 어떻게 표현되나요.

답에는 (1-z)^(-6)이라고 나타나는데 도무지 이해가 되지를 않습니다.

 

그리고 위의 주사위를 6번 던졌을 때 눈의 합(sum)이 짝수가 되는 모든 경우를 나타내는 건 어떻게 표현디나요.

답에는 (1-z)^(-3)*( (1-z)^(-3) + (1+z)^(-3) )/2 이라고 나오는데 이것도 이해가 안됩니다.

 

좀 도와주세요.

젤 왼쪽이 차수가 젤 낮음!!!


XX=[1, 1] 제곱하면,
XX=[1, 2, 1]
XX=[1, 3, 3, 1]
XX=[1, 4, 6, 4, 1]

XX=[1, 2] 제곱하면
XX=[1, 4, 4]
XX=[1, 6, 12, 8]
XX=[1, 8, 24, 32, 16]


그래서...
[0, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 을 주사위 합(sum)이 0일때, 1일때, 2일때, 3일때, 4일때, 5일때, 6일때의 경우의 수라고 하면,

주사위 1번 던졌을 때 (n=1)
vectors=[0, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 는 주사위 1번 던졌을때고..
even_odd=[3, 3] 짝수와 홀수는 각각 3번씩 있었고...

주사위 2번 던졌을 때 (n=2)
vectors=[0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1] 이 벡터는 주사위를 두번 던졌을때, 주사위 합(sum)의 경우수를 나타낸다. 아래의 결과들은 주사위를 3번, 4번던졌을때의 경우이다.
even_odd=[18, 18]

주사위 3번 던졌을 때 (n=3)
vectors=[0, 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10, 6, 3, 1]
even_odd=[108, 108]

주사위 4번 던졌을 때 (n=4)
vectors=[0, 0, 0, 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 80, 104, 125, 140, 146, 140, 125, 104, 80, 56, 35, 20, 10, 4, 1]
even_odd=[648, 648]

주사위 5번 던졌을 때 (n=5)
vectors=[0, 0, 0, 0, 0, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 205, 305, 420, 540, 651, 735, 780, 780, 735, 651, 540, 420, 305, 205, 126, 70, 35, 15, 5, 1]
even_odd=[3888, 3888]

주사위 6번 던졌을 때 (n=6)
vectors=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 21, 56, 126, 252, 456, 756, 1161, 1666, 2247, 2856, 3431, 3906, 4221, 4332, 4221, 3906, 3431, 2856, 2247, 1666, 1161, 756, 456, 252, 126, 56, 21, 6, 1]
even_odd=[23328, 23328]


<--------그래서 주사위를 6번던졌을때,
그합(sum)이 짝수일경우나, 홀수일 경우나,
그 경우의숫자는 23328로써 서로 같다.

야튼간에, 주사위를 6번 던지면,

(x + x^2 + ... + x^6)^6.................................... (1)

을 하여, 그 계수들을 모두 더한값이된다.

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even_0=[0, 0, 1, 0, 1, 0, 1] 이것은 주사위의 짝수의 경우
even_2=[0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 1] 짝수 두번나왔을때
even_4=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 0, 10, 0, 16, 0, 19, 0, 16, 0, 10, 0, 4, 0, 1]
even_6=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 6, 0, 21, 0, 50, 0, 90, 0, 126, 0, 141, 0, 126, 0, 90, 0, 50, 0, 21, 0, 6, 0, 1]


odd_0=[0, 1, 0, 1, 0, 1, 0] 이것은 주사위의 홀수의 경우
odd_2=[0, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 1] 홀수 두번나왔을때
odd_4=[0, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 0, 10, 0, 16, 0, 19, 0, 16, 0, 10, 0, 4, 0, 1]
odd_6=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 6, 0, 21, 0, 50, 0, 90, 0, 126, 0, 141, 0, 126, 0, 90, 0, 50, 0, 21, 0, 6, 0, 1]



even_2 * odd_4=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 6, 0, 21, 0, 50, 0, 90, 0, 126, 0, 141, 0, 126, 0, 90, 0, 50, 0, 21, 0, 6, 0, 1]
even_4 * odd_2=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 6, 0, 21, 0, 50, 0, 90, 0, 126, 0, 141, 0, 126, 0, 90, 0, 50, 0, 21, 0, 6, 0, 1]


(even_2 * odd_4), (even_4 * odd_2)는 주사위를 던져서 (짝수2,홀수4), (짝수4,홀수2),
가 나왔을때를 말한다. (짝수2,홀수4)는 짤수가연속2번나오고, 홀수가 쭉 4번 나오는경우)
(even_2 * odd_4), (even_4 * odd_2)의 경우수를 모두 더하면 둘다 서로 값이 같다.

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그렇다면, 주사위를 6번 던졌을때, 그 합(sum)이 짝수가 나올 경우의 수는?
(앞에서 23328이 그답인데...)


그 경우의 수를 N이라고 하면,

N = even_6경우 + odd_6경우 + 15 (even_2 * odd_4) + 15 * (even_4 * odd_2)
= 729 + 729 + 15 * 729 + 15 * 729
= 32 * 729
= 23328

이렇게 하면,
23328이 나온다.

그렇다면
짝수의 경우에는 다항식으로로 표현하면 어떻게 표현할 수 있을까?
(1) 식처럼 표현할려면?