내가 생각하는 풀이랑 정답이 해답이랑 완전히 정 반대인데, 질문좀 받아주세요

[나의 풀이]

우선 여기서 정의한 New metric d는 R의 어떤 x,y에 대해서든 d(x,y)eu<=d(x,y)지 않나? ||x-y||<=||x||+||y||이니까 ㅇㅇ

양변 제곱해서 비교하면서 코시 슈바르츠 생각하면 이 부등식이 성립함을 보일 수 있다고 생각함...

그러므로, new metric 하에서 정의된 어떤 점 a of R의 neighborhood는 반드시 euclidean metric으로 정의된 점 a of R의 neighborhood를 포함한다고 생각함. 그래서 R의 subset S가 new metric을 기준으로 open이라면, 즉 S의 모든 점이 내점이어서, 임의의 점에 대해 S가 어떤 neighborhood를 포함한다면, 그 neighborhood는 euclidean metric의 neighborhood를 포함하고 있으므로, 나는 euclidean metric 기준으로도 이 점들은 다 내점이 된다고 생각함. 그래서 S is open in euclidean metric space R.

그리고 내 생각에 역은 성립하지 않아. euclidean metric space에서 open인 set 하나만 예를 들어보자: (0,1)

이거, new metric으로는 이 집합에 속하는 0.9는 0.9 근처의 어떤 다른 점에 대해서도, 기본적으로 metric 값을 0.9이상 가지기 때문에 어떤 근방도 (0,1)에 포함될 수 없잖아. 그러면 0.9는 (0,1) in the new metric space (R,d)에서 내점이 아닌거 아님? 그래서 open될 수 없지 않나?

[공식적인 정답에 대해 이해가 안 되는 점]

But when r< ||x||, then we have Br(x)= {y ∈ R^k : d(x,y) <r} = {y ∈ R^k : |x||| + ||y|| <r} = {x} is not open under the Euclidean metric.

풀이의 이 부분에서, r<||x||이면 r-||x||<0인데 말이여, 그러면 ||y||<0인 y들의 집합인 Br을 반례로 내 놨다는 이야긴데, 이거 공집합이잖음? 공집합은 open&closed니까 not open in euclidean metric 이거 구라아님?

흐으.... 수갤 고수님들의 조언 부탁드립니다.  내가 독학중이라 얻다가 물어볼 데가 없음 쩝....