하이네 보렐 정리

위 증명에서 순서가 open cover에서 countable subcover 를 추려내고 nested set property를 이용해서 모순을 이끌어내는 순이다.

뭐 중간에 countable sub cover를 추려낼 때 선택공리를 여러번 쓴거 같지만.. 기분탓이다. 망상하는데 그런거 일일이 신경쓸필요 없다.

그런데

1. countable syb cover를 추려낼때 실수집합이 countable dense subset, Q를 가짐을 이용하고,

2. nested set property를 이용하므로

거꾸로, 예를들어서 (X,d)가 complete metric space이고 X가 countable dense subset을 가진다면, 하이네 보렐 정리가 X위에서도 성립하지 않을까??

그럼 R^n공간보다 일반적인 공간에서 하이네 보렐 정리가 성립할텐데, 교과서에는 항상 R^n의 경우만 나온다. 물론 내가 본 교과서라고 해봤자 기초적인 해석개론책 몇권이 전부지만..

위키피디아를 뒤져봐도 딱 원하는 답은 안나오고..

예전에 이런 질문을 교수님들께 한적이 있었는데, 대부분 대답이 '위상수학 공부하세요' 내지는 '글쎄, 교과서에 안나오는걸로 봐서 R^n에서만 되는거 아닐까' 하는 늬앙스였다.

위상수학 이번학기에 듣는데 공부해봐서 안나오기만 해봐라, 하는 망상을 해본다.