삼각치환적분에 대해 기본적인 궁금증이 있습니다. 하는 방법은 아는데요. trigonometry라는것은 그것만이 가지고 있는 고유한 특성이 있지 않습니까? 예를 들어 cos^2 theta + sin^2 theta = 1 같이 cos sin tan sec 이들만이 가지고 있는 관계성 같은 것들이요. 그 관계성을 삼각치환적분을 할때 많이들 이용하는데

보통 삼각치환적분을 이용하는 가장 흔한 케이스가 루트 a^2 - x^2 잖아요. 그리고 x를 a sin t 라고 치환하고요. 이렇게 치환해서 trigonometry를 이용해 문제를 풀때 앞서 제가 말한 trig만이 가지고 있는 고유한 특성을 가지고 문제를 풀게되는데, 이렇게 치환해서 문제를 풀때, 치환하지 않았을때랑 같은 결과값을 가지는 것이 어떻게 가능한가요?

정말 어렵겠지만 루트 a^2 - x^2 를 치환하지 않고 그냥 기본 적분룰만을 가지고 가정해봅시다. 그때 나오는 결과 값이랑 치환 적분을 해서 나오는 결과값이랑 같은게 어떻게 가능한건지 원론적으로 이해가 안됩니다. 왜냐면 삼각치환을 하면 기본 적분에서 더 나아가서 trig만이 가지고 있는 고유한 문제 풀이 방식을 적용하게 되잖아요? 그게 어떻게 그냥 기본 적분을 한 결과값이랑 똑같은거죠..? 무시하셔도 되는데 진짜 궁금해서 그런거니 날선 말들은 삼가해주시면 감사하겠습니다