이걸 설명하기 앞서
왜 1 이라는 표현과..
0.99999... 라는표현이 나왔는지 살펴보자

인류는 처음에는 숫자를 사용하지 않았다.
하지만 벽에 무늬를 새김으로써 간단하게나마
\'수\' 라는 개념을 새기기 시작하였고
관습적으로 \'사랑\' 과 같이 \'숫자\' 를 공통적인 관념으로
받아들이기 시작했다. 인류 문화의 초기에는
애초에 \'수\' 라는 개념이 성립하지 않았다.

즉 \'수\' 는 만들어진것이다. 수는 실체가 아니며
실체를 이해하기 위한 하나의 수단이다.
이러한 만들어진 \'수\' 는 상형문자로 시작하여
로마숫자에서 우리가 현재 사용하는 아라비아숫자에
이르게 된다.

사실 수를 표현하기위해서 문자가 아직 없었다면
오늘의 이 논쟁은 일어나지 않았을것이다.
왜냐하면 이 논쟁은 수의 표기법이 만들어낸
하나의 생각의 혼란으로 인하여 시작되었기 때문이다

0.5 , 0.6 등의 소수표현은 1보다 작은 자릿수의 수를
관념상으로 나눈 표기이며 비교적 최근에 등장했고
이 소수는 셀수없는 객체의 표현을 위해 등장했다
우리는 양을 한마리 두마리 세마리라고하지 1.5마리라고
하지 않는다. 하지만 물은 1.5L 라고 한다. 왜그럴까?

물은 고체가 아니다
고체는 군집성을 띄어 강력한 결집력을 지니고 있으며
한번 실체로 존재하면 배타적인 성향으로
주위의 물체와 결합하지 않는다. 즉 이 결합된 덩어리가
\'갯수\' 라고 인지되는 단위이며, 사실 실체는
수많은 원자덩어리이고 물체마다 그 갯수도 다르다

돌이 반으로 갈라졌다고 가정하자.
돌은 1개에서 2개가되었다.
하지만 변한건 갈라진 접촉부의 원자들사이의
연결고리가 끊어진것밖에 없다.
즉 \'갯수\' 는 인간의 인지단위에서 존재하지
실체가 아니다.

그럼 액체나 기체를 보자..
액체는 갯수단위로 인지되지않는다. 기체는 더욱그러하다
왜냐하면 액체는 주위의 액체에 대하여 배타성이 없다
만나면 섞일뿐이다. 그리고 쉽게 분리된다.
인간은 이것을 하나의 인지단위로 보지 않았다.
하지만, 다른 방식으로든 어쨌든 양을 표현하는것이 필요
했다. 그래서 어떠한 기준을 잡고 \'단위\' 를 정했다

길이의 미터,킬로미터,나노미터  , 시간의 시,분,초 등
특정 비교 기준을 잡고 상대적인 수치를 쟀다
미터라고 정해진 기준길이 보다 2배가 크면
2m 라고 인간이 정보를 판별할 수 있게 되었다.
그러다보니 상대적인 수치가 자연수와 맞아떨어지지않는
표현이 필요하였고, 자릿수와 소수가 등장하게 된다.
그리고.. 총량에 대비한 비율을 간단히 표기하는 분수..
그리고 계속되는 반복성을 띄는 소수패턴을 반복하는
순환소수가 등장하게된다 .
따라서 순환소수는 상대적인 양을 표현하는 하나의 값이다.
이는 분수로 표현하면 하나의 값이 된다.

0.11111.... 은 1/9 이라는 값과 동일하다
이는 0.1111... 식으로 확장되어 나가는개념이 아니다
0.11111... 이 하나의 값이다. 값을 표현한것이지
0.11111... 에서 ... 이 값을 찾는 행위가 아니다

이값은 자릿수 별로 합한 식으로 표현하면

0x10^0 + 1x10^(-1) + 1x10^(-2) ... 로 정의 내릴수 있다

그럼 0.9999.... 는 여기서

0x10^0 + 9x10^(-1) + 9x10^(-2) .... 으로 정해진

하나의 \'값\' 이지 이것을 0과 소수부를 따로 분리해서
9가 점점 수렴하는것으로 해석하는것은 잘못된것이다
즉 1에 대한 \'상대값\' 으로써 비교대상이되는 개념을
단지 0.9999... 의 형식으로 써놨을 뿐이지 이는
실제로 1에 대한 상대값으로 \'값\' 이 존재하는
하나의 갯수로 셀수없는 형식의 \'수\' 이다

그럼 0.9999... 는 하나의 수이며 표기법인건 알았다
이 표기법을 달리한 위의 식을 보자

9x10^(-1) + 9x10^(-2) .... 이 표기로 바꿔보자
어차피 표기만 바뀌었을뿐 값은같다.

이는 무한등비수열의 합 공식에 의해 한 값으로 수렴하며
극한에 의하면 이는 \'하나의 값\' 을 갖게 된다
수렴시키는것은 값을 찾기 위한과정이지
리미트값으로 무한대로 보내는자체는 수가 아니다

이는 초항이 0.9 이고 등비가 10^(-1) 인 등비수열이고
이를 극한으로 표현하면

lim(n→∞) 0.9{1-{10^(-n)}}/(1-10^(-1)) 에서

이는 0.9x1 / (1-0.1) = 1 이라는 실제 \'상대적 값\' 이되며
따라서 0.9999.... 는 1 을 표기한 실제값이라는 증명이고
이는 0.9999... = 1 이라는것이 정확하게 성립함을 말하고

0.9999.... 에 가우스 기호를 취해 [0.9999...] 를 구해도
이 값이 1 이므로 0 이 아닌 1이 얻어진다는 소리가 된다


[세줄 요약]

1. 소수는 값을 표현하기 위한 수단이지 하위 자릿수로의 연속적 진행이 아니다

2. 위의 0.9999.... 의 순환소수는 셀수없는 실체에 대해 상대적인 기준을 잡고 계산된 상대적인 수치를 표현한 표기법이다

3. 이 표기법을 등비수열의 합을 구하는 표기법으로 바꿔도 같은 \'값\' 이므로 극한이라는 수단을 사용해 그 값을 구해보면 1 이므로 1과 0.9999.... 는 같은값이다