안녕하세요, 현재 집합론을 공부하고 있는 학생입니다.

ZF (Zermelo-Frankel) 공리계를 공부하다가,

멱집합 공리 (Axiom of Power set)에 대해서 궁금한게 있어서 질문하게 되었습니다.

(사족이지만, 선택공리까진 아직 가지도 못했습니다.)

제가 궁금한건, 이 멱집합 공리가 과연 공리로써 언급이 되어야 하는가 입니다.

이 공리는 '어떠한 집합이든 그 집합의 멱집합(=부분집합들의 모임)이 존재한다' 라는 것이 내용인데,

제가 볼 때 이건 다른 공리들로부터 유도될 수 있는 것 같거든요. 

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한번 제가 생각한 과정을 작성해보겠습니다

1) 일단 집합 X가 주어져 있다.

2) 그럼 이 집합 X로부터, 우리는 X의 어떠한 부분집합 Y라도 얻어낼 수 있다.

이건 axiom schema of comprehension (분류 공리꼴)을 X에 적용하고, 적용 할 때는 이용하여 한다.

2-1) 참고로 이걸 이용해서 공집합 또한 뽑아낼 수 있다. 

2-2) 그럼 여기서 우리는 X의 모든 부분집합을 얻어낸 상태이다.\

3) 이제 여기에서 부분집합 A랑 B를 선택한다.

3-1) 그럼 axiom of pairing (짝 공리)에 의해 {A,B}를 얻을 수 있다.

3-2) 다음, X의 또 다른 부분집합 C를 선택하여,

마찬가지로 짝 공리에 의해 {C,C}, 즉 집합 {C}를 얻는다.

3-3) 그럼 {A,B}와 {C} 로부터 짝 공리를 다시 한 번 적용하여 {{A,B},{C}} 라는 집합을 얻는다.

3-4) 합집합 공리에 의해 U{{A,B},{C}} = {A,B,C}로 C는 넣었다.

3-5) 이 과정을 계속하여 모든 부분집합을 넣는다.

그러면 X의 멱집합이 만들어진다!

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추가로 제가 생각하는 '멱집합 공리가 공리로 있어야 하는 이유'는 다음과 같이 예상합니다.

(1) 칸토어 정리, 즉 card(X) < card(P(X)) 이므로 cardinality가 더 큰 집합을 만들어 낼 수 있다.

다른 공리(union, pair 등)로는 cardinality가 급격하게 커지는 경우를 못 만들어낸다

(2) 위의 과정 중에서 2)의 과정에 axiom schema of comprehension 을 이용할 때, property를 사용하는 방법에 문제가 있다.

(3) 위의 과정 중에서 3)의 과정을 보면 A랑 B를 선택한다고 되어있는데,

이 선택한다는 생각 자체가 선택공리 (혹은 가산 선택공리)를 이용한거다.