*원래 질문글 답변으로 썼다가 답변이라 하기 미묘한 것 같아서 이렇게 올림

*가는 글씨로 쓴 글은 내가 옛날에 궁금했었던 부분들에 대한 개인적 첨언이며, 굳이 안 봐도 이해에 지장이 없다.

(질문자는 일단 처음 볼 때는 굵은 글씨만 보는 게 좋을듯? 너무 길어서..)

(1) 1계(상)미분방정식(first order ode)이라는 것은 일반적으로 F(y',y,x)=0, y=y(x) 꼴의 문제를 말한다.

그런데 이런 형식으로 쓰인 문제는 모든 변수가 얽혀 있어 건드리기 복잡하므로, 가장 골치아픈 term인 y'을 빼내서 y'=f(x,y)의 형태로 바꾸어 생각하곤 한다.

물론 항상 이러한 형태로 나타낼 수 있는 것은 아니지만, F가 거의 모든 (x,y)에 대해 F(z,y,x)=0인 z를 유일하게 갖는 것이 아니면서 충분히 좋은 함수라고 하면 IVP(초기값 문제)의 해가 하나로 결정되지 않고, 상상을 초월하게 많은 해가 나오게 되기 때문에 좋은 ODE는 아니다.

반대로 거의 모든 (x,y)에 대해 z가 유일하다고 하면 좋은 ODE일 경우에는 f를 몇몇 특이점에서만 상수로 재정의해서 박아버린 다음에 singular solution(특수해_계산을 해서 얻어진 해집합에 들어가지는 않지만 특수 케이스로 주어진 미방을 만족하는 해의 모임)만 추가해주면 된다고 기대해볼 법하며, 그래서 여기에서는 y'=f(x,y)만 생각해볼 것이다.

(2) 변수분리법이라는 것은 y'=f(x,y)에서 y에 대한 항을 모두 좌변으로, x에 대한 항을 모두 우변으로 어떻게 잘 보내서 y'p(y)=q(x)꼴을 만들 수 있는 ODE에 대해, 이런 형태의 문제를 양변을 적분함으로써 해결하는 방법이다. (단, p,q가 모두 적분가능한 함수여야 함)

(ex) y'=y => y'/y=1 ... p(y)=1/y, q(x)=1

-여기에서 p는 0을 포함하는 interval에서는 적분이 불가능함을 유념하자.

운이 좋다면 second order 이상에서도 안될 것은 없지만, 일단 1계미방만 질문했으므로 신경쓰지 않겠음.

그러면, y'=f(x,y)를 만족하고 0을 지나지 않는 y는 y'p(y)=q(x)를 만족하고, 이 때 양변을 x에 대해 적분한다면 그 적분한 식은 적분상수를 제외하고 서로 같아야 한다.

(ex) y'/y=1 => int y'/y dx=int 1 dx => ln |y|+c1=x+c2 => y=+-ce^x , c=e^(c2-c1) ('.' y가 0을 지나지 않는다고 했고, y는 연속함수이므로 중간값정리에 의해 y는 부호가 항상 양수거나 항상 음수가 됨) (y가 연속함수인 이유 : 예를 들어 y가 locally integrable하다고 해보자. y'=y가 원래 문제이므로, y'도 locally integrable하고 따라서 y는 continuous하다. 그러면 y'은 continuously differentiable하고 y또한,... 이렇게 무한 번 미분가능한 함수까지 보낼 수 있음. 단, 이건 그냥 야매로 하는 얘기고, 저렇게 미분이 되지 않는 y는 애초에 방정식을 구성할 수 없기 때문에 weak한 방법으로 해라는 것을 정의함. 그럼에도 불구하고 결과적으로 여기서 y는 무한 번 미분 가능하다는 것을 해를 직접 구하지 않고 증명하는 것은 그렇게 어렵지 않음)

마지막으로 y가 어떤 x에서 0이 되는 해를 생각하자. 이 문제는 x에 대해 independent하므로 y(0)=0인 경우에 무슨 해가 존재하는지만 찾아보고 그것을 평행이동시키면 모든 해를 얻을 수 있다. (변수분리형미방의 가장 만만한 경우가 이런 경우다. 변수분리가능한 미방이 많지 않은데, 제일 흔하게 존재할법한 경우가 x가 없는 방정식이기 때문이다. 일반적으로 ode의 x변수를 시간으로 생각하면 편한 경우가 많은데, 많은 물리현상이나 qualatative한 미분방정식은 시간 x에 구애받지 않는 형식으로 발생하기 때문에 흔하게 존재한다. 이런 것을 다루는 분야가 dynamical system이고, pde에서도 많은 이론은 time-independent한 경우에 적용됨)

미분방정식의 해의 유일성 정리(분명 배웠을 것이다 잘 떠올려보길)가 적용되기 때문에, y=0이 양수 범위에서 유일한 해고, x의 부호만 뒤집어서 한번 더 해주면 음수 부호에서도 y=0이 유일한 해임을 볼 수 있다. 따라서 우리가 추가해야 할 해는 영함수 뿐이다.

따라서, y'=y의 해집합은 ce^x, c는 임의의 실수, 가 된다. (이러한 함수는 y'=y를 만족하는 것은 쉽게 확인할 수 있다)

>> y'=y는 간단한 경우지만, 좀 더 복잡한 경우라고 해도 지금 얘기한 것처럼 하면 대체로 엄밀한 풀이가 가능하며, 사실 변수분리를 배우는 코스에서는 계산을 중시하기 때문에 저렇게까지 안해도 된다.