수학갤 개념글

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이 시기의 수갤을 처음봐서 올해만그런건지 계속 그래왔는지는 모르겠지만
학기 초다보니 대학에 와서 처음 (제대로된) 수학을 배우면서 가장 먼저 만나게되는 관문인 입실론 델타에 어려움을 겪는 학생들이 많은 것 같군요


이쯤에서 적절하게, 입실론 델타의 정석을 논해볼까 합니다.


먼저 정의부터 하자면 요렇게 생겼지요.


Def. lim(x->c) f(x) = L iff
임의의 e에 대해서, 적당한 d가 존재해서 다음 조건을 만족한다.
0<|x-c|<d => |f(x)-L|<e


대개 대부분의 고등학교에서 객관식 문제찍기 연습만 죽어라 하기때문에 처음 이 정의를 보면 많은 사람들이 "교수양반 이게 무슨소리요"하게됩니다.
이 정의를 이해하지 못하는 경우는 크게 두 가지 케이스로 볼 수 있는데 첫째로는, 저 수학적 문장자체가 무슨소리인지 이해를 못하는 학생이 있을 수 있겠고 두 번째로는 수학적인 statement는 제대로 이해하나 저것이 왜 극한의 정의로 쓰이는것인지 납득을 못하는 학생이 있을 수 있지요
전자의 경우는 다양한 설명방법이 있겠지만 https://gall.dcinside.com/list.php?id=mathematics&no=47211 와 같은 설명을 보면 아마 많은학생들의 의문이 풀리지 않을까합니다. 그런데 예전에 대충적은글이라 몰랐는데 다시보니 저기 설명이 조금 잘못 되어있는 부분이 있어서 정정하자면, "극한지 존재하지 않음을 증명하기 위해서는 임의의 실수 L에 대해서 갑이 이겨야" 합니다. "어떤 실수 L에 대해서 을이 게임에 이기면 극한값이 L이란 소리"입니다.
후자의 경우는, 일단 극한의 정의를 수학적으로 이해를 했기 때문에 문제를 푸는 것 자체에는 별 어려움이 없을 것입니다. 그것이 왜 극한의 정의인지 와닿지가 않는 경우는 미안한 말이지만 일단 그런갑다하고 넘어가는걸 추천합니다. 상위 과목 해석학같은데서 2~3년 쓰다보면 자연스레 납득하게 될겁니다.


이제 서론은 집어치우고 본격적인 입실론 델타의 정석을 봅시다.
기본적으로 입실론 델타를 이용한 증명은 다음과 같습니다.
극한의 존재성 : 임의의 e에 대해 d를 직접 찾아서 보여주면 됩니다.
극한이 없음    : 임의의 L에 대해, 어떤 e에서는 임의의 d에 대해서 0<|x-c|<d => |f(x)-L|<e 가 절대 될수없음을 보여주면됩니다. 말이 존나 복잡하죠. 예제를 보고 이해하면됩니다.


문제 1. lim(x->c) ax+b = ac+b
가장 간단한 일차함수의 극한부터 봅시다.
일단 임의의 e에 대해서 d를 찾아봅시다.
우리가 최종적으로 만족시켜줘야하는 부등식이 0<|x-c|<d => |ax+b-ac-b|<e 입니다.
일단 이 부등식부터 간단히좀만들어보죠
|ax-ac|<e
|a| |x-c|<e
|x-c| < e/|a|
우리 고등학교 1학년 명제시간에 배우지만 p(x) 이면 q(x) 이다 에서 수직선에 영역표시해보면 p가 q보다 좁아야되는거 알죠? 지금 상황이 0<|x-c|<d => |x-c|< e/|a| 인 d를 찾는거니까
d를 e/|a| 이하로만 잡으면 아무거나 잡아도 조건을 만족합니다. 보통 상식적으로 d=e/|a|로 잡죠
d = e/|a|
증명끗입니다.
이렇게 |f(x)-L|<e 부분이 깔끔하게 |x-c|<뭔가 꼴로 정리되는경우는 가장 심플하게 풀리는 경우이며 d=뭔가 로 잡으면됩니다.


문제 2. lim(x->c) x^2 = c^2
0<|x-c|<d => |x^2-c^2|<e
|x-c||x+c|<e
네 개같지요. 이쯤에서 입실론 델타의 강점을 하나 말하자면 "델타는 니 잡기 나름"이라는 겁니다. 조건만 만족하면 되기 때문에 필요이상으로 지나치게 좁게 잡아도 전혀 문제가 없습니다.
이렇게 개같을때 쓰는 방법입니다. 일단나는 델타를 1보다는 무조건 작게 잡아보겠습니다. 델타는 사실 존나 지맘대로잡을수있어서 문제가 좀만 복잡해지면 사람마다 답이 천차만별일수있습니다. 여기서 하필 1보다작게한건 엿장수 마음입니다.
일단그럼 당연히 |x-c|<1 이므로 c-1 < x < c+1 이지요
2c-1 < x+c < 2c+1
|x+c| < max( |2c-1|, |2c+1| ) = d1 라고합시다.
|x-c||x+c| < d*d1 입니다. 이제좀 간단히 정리가 됐죠.
0<|x-c|<d => |x-c||x+c|<e 인 d를 찾는게 목적입니다.
이게지금 고민할 이유가 있는 문제인가요. d=e/d1 하면 완벽하잖습니까.
그럼 이게 답인가요? 아니요 딱하나 처리안한게 있습니다. 맨처음에 말했죠 "난 무조건 d<1인거로 잡겠다"고
그거를 어떻게 표현할까요. 한가지 알고있는건 d값을 위에서구한 e/d1보다 작은거로 잡아도 저 관계는 성립한다는겁니다. p(x)=>q(x)이다 에서 p의 범위가 q보다 좁기만하면 되니까 p를 더 좁혀도 조건은 성립하는거지요.
그럼 d를 이렇게 잡으면 됩니다.
d = min{e/d1, 1}
짠. 1보다 작고 e/d1보다 작으니 위에서 제가쓴 모든논리과정이 문제없이 전개될수있습니다. d를 구했으니 증명완료입니다.
사실 미적 배운지가오래돼서 이거보다 더 간단하게 잡을 수 있는데 삽질한걸수도 모르겠습니다만 대개 입델증명이 이런패턴입니다. 주요 스킬들을 익혀두면 많은문제를 비슷한방법으로 풀수있습니다.


문제 3. lim(x->7) 8/(x-3) = 2
수갤에 얼마전에 올라온 입델질문입니다.
분수를 어떻게 처리하는지 한번 볼까요.
0<|x-7|<d => |8/(x-3) - 2| < 2
이건 뒷쪽 부등식이 충분히 깔끔하니 바로 앞에서 가보죠.
|x-7|<d => 7-d < x < 7+d
4-d < x-3 < 4+d
일단 d<4로 잡아야 셋다 양수가돼서 뒤집고 이런걸 하기 편합니다.
1/(4+d) < 1/(x-3) < 1/(4-d)
자이거를이제
\'이쁘게\' 바꿔봅시다. 이쁘게라는건 d가 분수식이나 루트같이 이상한데있지않고 선형으로 있다는 뜻입니다.
저거로부터 1/4 - kd < 1/(x-3) < 1/4 + ld 를 얻어내기위해서 1/4 -kd < 1/(4+d) 와 1/(4-d) < 1/4 + ld 를 만족하면 충분합니다. 기준이 되는 수 1/4가 어디서 텨나왔냐고요? d=0 넣으면 됩니다 당연한얘기지요.. 1/(x-3)의 극한이 1/4니까 이 수가 중심이 돼야한다는 것입니다.
여튼이제 저 조건을 만족하는 k와 l을 구해보죠
(4+d)(1/4 - kd) < 1
1 + d[1/4 - 4k- kd] < 1+d[1/4 - 4k] < 1 이기위해 k = 1/16 이면 충분합니다.
1/4 - 1/16 d < 1/(x-3) 이란 소리죠.
이번엔 l..
(1/4+ld)(4-d) > 1
1 + d[4l-1/4-ld] > 1
4l - 1/4 - ld > 0
d < 4 - 1/(4l)
대충 l=1/4 잡은다음 d<3 이라고 합시다. d를 맘대로 줄일 수 있다는걸 항상 기억해두고 필요할때 바로바로 적용하는게 문제를 쉽게푸는 길입니다. d<{} 꼴의 부등식은 항상 참이라고 생각하고 써도 된단거죠 단 {}가 양수라는건 반드시 보장되어야 합니다 d<(음수)가 돼버리면 안되니까요
이제 됐네요
1/4 - 1/16 d < 1/(x-3) < 1/4 + 1/4 d
2 - 1/2 d < 8/(x-3) < 2 + 2d
-1/2 d < 8/(x-3)-2 < 2d
|8/(x-3)-2| < 2d
네요.
즉 우리는 e=2d가 되도록, d=e/2 로 잡으면 됩니다.
정리해보면 d가 4보다 작고 3보다 작고 e/2보다 작으면 \'극한의 조건\'이 만족된다는거죠
d = min{3, e/2}
증명끗입니다. 어때요참쉽죠?
문제2도 이같이 |x-c|<d 에서부터 시작해서 x의 범위구하고, 제곱해서 푸는수가 있습니다. 직접함 해보세요
똑같은 문제도 다양한 방법으로 d를 잡을 수 있다는걸 느낄 수 있을겁니다.


문제 4. lim(x->1) sqrt(x+3)=2
수갤에 얼마전에 올라온 입델질문입니다.
이번엔 루트. 위랑 비슷하게하면됩니다.
0<|x-1|<d => |sqrt(x+3)-2|<e
루트가 좀 맘에안드네요. 역시 앞에서부터 출발해봅시다. 사실 뒷부분의 식 모양이 제법 이쁘게 생겨서 바로 앞에서 출발하지만 좀 개같은 경우에는 정리를 해야할 필요가 있습니다. 일단 앞에서 갑니다.
1-d < x < 1+d
4-d < x+3 < 4+d
sqrt(4-d) < sqrt(x+3) < sqrt(4+d), d<4
2-kd < sqrt(4-d), sqrt(4+d)<2+ld 라고 합시다.
4-4kd+k^2 d^2 < 4-d
-4k+k^2d < -1
d<방향이네요. k=1 하고 d<3 합시다.
4+d < 4+4ld+l^2d^2
1 < 4l + l^2 d
l = 1/4 로 잡으면 무조건 성립하겠네요.
2-d < sqrt(x+3) < 2+1/4 d
|2-sqrt(x+3)| < d
e=d 하면 되겠군요.
d = min{3, e}
끗


문제 5. lim(x->4) sqrt((2x-1)/(x-3)) = sqrt(7)
수갤에 얼마전에 올라온 입델질문입니다.
-_-;; 이렇게 개떡같은 문제는 내는거 자체가 비매너지만 냈으니 풀어야지요.
일단 이럴땐 식 모양을 이쁘게 바꾸고 step-by-step으로 하나하나 차근차근 좁혀가봅시다.
sqrt((2x-1)/(x-3)) = sqrt(2 + 5/sqrt(x-3))
이지요 여기서 먼저 1/(x-3) 부터 처리합시다.
0<|x-4|<d 니까 d를 0.5보다 작게잡으면 1-d < x-3 < 1+d, 1/(1+d) < 1/(x-3) < 1/(1-d) 가 되죠
이걸 계속 끌고가면 너무 좆같으니까 1/(1+d)이렇게 분수로들어간 d를 선형으로 빼내는 작업을 합니다. 이것은 사실 반드시 가능한데 그 이유는 1/(x-3)의 극한이 존재하며 1이라는것을 역시 알고있기때문입니다.
1-kd < 1/(1+d) 꼴이 되도록 k값을 찾으면 1-kd < 1/(x-3) 이렇게 분수식을 1차식으로 바꿀수있죠
넘겨보면 (1+d)(1-kd) = 1 + (1-k)d - kd^2 < 1이고 이것은 k=1이면 가능합니다. k는 아무렇게나 찾으면 되니까 대충 몇개넣어서 찍어도됩니다. 즉 이게말하는바는 1-d < 1/(1+d) 라는겁니다. 마찬가지로 부등식의 오른쪽방향 1/(1-d)도 1차로 바꿔보죠. 1/(1-d)<1+kd 를 원하며 이것은 1<(1+kd)(1-d) = 1+(k-1)d-kd^2 = 1+d(k(1-d)-1) 이죠 근데 d<0.5이니까 k=2 잡으면
1+d(2(1-d)-1) > 1+d(2-1) = 1+d > 1 이므로 원하는게 됐네요.
따라서 알수있는건 1-d < 1/(x-3) < 1+2d 라는것. 이제 분수는 처리했으니 계속진행해보죠
5-5d < 5/(x-3) < 5+10d
7-5d < 2+5/(x-3) < 7+10d
두번째 관문인 루트를 만났습니다. 이건 좀더 짜증나는데 그래도 해야죠..
sqrt(7) - kd < sqrt(7-5d)인 k를 찾고싶죠.
7 - 2sqrt(7)kd + k^2 d^2 < 7-5d
-2sqrt(7)k + k^2 d < -5
깔끔하게 안풀리죠.. 근데 주목할점은 d에대한 부등호 방향이 ㅁ+ㄴd < ㄹ 꼴이란것. d<ㅂ 꼴은 우리가 맘대로 잡을수있죠
그러니까 그냥 대충 k=1 이렇게 잡아도 d로 조정하면 된단겁니다.
-2sqrt(7) + d < -5
d < 2sqrt(7)-5
주의할건 우변이 양수임을 확인해야된단것. 대충잡다가 저게 음수면 망합니다.
즉 우리는 d를 0.5보다도 작고 2sqrt(7)-5보다도 작게잡아야합니다.
여튼 그렇게 잡으면 sqrt(7) -d < sqrt(2+5/(x-3)) 을 얻습니다.
반대방향해보죠
sqrt(7+10d) < sqrt(7) + kd
7+10d < 7 + 2sqrt(7) kd + k^2 d^2
10 < 2sqrt(7)k + k^2 d
망했어요 d의 부등호 방향이 d>에요
사실 안망했어요 오히려 아까보다 쉬워요 우변에 k를 원하는대로 잡을수있기때문에 2sqrt(7)k>10 하면돼요
k > 5/sqrt(7)인거 아무거나 잡으면돼요 k=5/sqrt(7) 그냥 잡죠
그럼결국 일케됩니다.
sqrt(7) - d < sqrt(2+5/(x-3)) < sqrt(7) + 5/sqrt(7) d
-d < sqrt(2+5/(x-3)) - sqrt(7) < 5/sqrt(7) d
|sqrt(2+5/(x-3)) - sqrt(7)| < 5/sqrt(7) d
따라서 e=5/sqrt(7) d가 되도록 d를잡으면되겠죠
d = sqrt(7)/5 e
d는 0.5보다도 작고 2sqrt(7)-5 보다도 작고 sqrt(7)/5 e 보다도 작아야합니다.
종합해보면 다음과 같이 d를 잡으면 됩니다.
d = min{ 0.5, 2sqrt(7)-5, sqrt(7)/5 e}


후.. 사실 문제풀이를 쓴 순서가 문제 5->3->4 여서 3번 4번을 아무래도 대충 설명한 감이 있네요


문제 6. f(x) = \'x가 유리수일땐 0, 무리수일땐 1\' 인 함수가 아무점에서도 극한이 존재하지 않음을 보여라.
이런류의문제 처음보고 얼마나 황당하던지.. 수학과 현실의 동떨어짐을 처음 느꼈던게 이 문제 아닌가 싶네요
lim(x->c) f(x) = L 이라고 해보고
모순을 만들면 되겠죠. 귀류법입니다.
임의의 e에 대해서 d가 존재한댔으니까 e = L/2 에 대해서도 d가 있겠군요.
귀류법을 쓰고있으니까 지금까지와 순서가 반댑니다. e를 먼저잡고 d를 \'못잡는다는걸 보여야\'합니다.
0<|x-c|<d => |f(x)-L| < L/2
L/2 < f(x) < 3L/2
그런데 c-d < x < c+d 아닙니까? 이 안에서 c 아닌 수 중에서 유리수와 무리수 반드시 있겠지요. c-d와 c+d 사이의 공간이 조금이라도 있으면 그 안에 항상 무리수와 유리수를 잡을 수 있다는건 잘 알고있는 사실이니까요. 가령 c-d=1.99, c+d=2.01 라고하면 그 사이에는 반드시 유리수 2.005와 무리수 sqrt(1.99^2+0.000000001)이 있기마련입니다. 당연한 사실이니 여기서는 일단 인정하고 넘어가도록 하지요. 해석학을 배우면 실수의 공리로부터 증명할 수 있겠지만(아마도) 미적분학 수준에선 당연하다고 치고 넘어가도 될 것 같습니다.
여하튼 c-d< x0 < c+d 인 유리수 x0와 c-d < x1 < c+d인 무리수 x1을 잡았습니다.
x0와 x1은 당연히 다음 부등식을 만족합니다.
L/2 < f(x0) < 3L/2 이므로 L/2 < 0 < 3L/2
L/2 < f(x1) < 3L/2 이므로 L/2 < 1 < 3L/2
따라서 L/2 < 0, 3L/2 > 1 인데 각각 풀어보면
L<0, L>2/3 인데 이걸 둘 다 만족하는 실수 L이 있다니, 모순입니다.
따라서 f(x)는 극한이 없습니다.


극한이 없다는것의 증명은 이런식으로 \'어떤 e에 대해서는 d를 못잡는다\'는식의 증명방향이 됩니다.



극한의 정석이랍시고 별로 아는것도없는제가 존나 스크롤압박인 개 장문을 한번 써봤습니다. 사실 시험잘보고 기분좋아서 함 써봤어요.
제가원래 수갤에 올라오는 학교숙제질문은 기분나빠서 잘 안대답하거나 뭐라고 하는 경우가 많습니다만 입델 처음배울때의 고생을 잘 알기때문에 입델부분만 따로함 모아서 잘 모르는사람이 보면서 공부를 할 수 있도록 구체적인 방법과 생각하는 과정을 곁들여서함 써봤습니다. 그리고 사실 원래 수갤에서 존댓말 안쓰는 컨셉인데 불특정다수에 대해 말한다는 생각으로 썼기에 말투가 존댓말이 돼버림

여튼 입델 열심히들하센