1. a_3 부터(즉, 중간부터) 케이스시작 가능하다!!

2. a_3 = 4k or 4k+1 or 4k+2 or 4k+3 으로 케이스 나눌 수 있다.

3. a_4 = 2k+6에서 2k+6 자체를 케이스로 나눈다.

1. 무지성단순계산

2. 관찰 + 대칭성+직접 방정식 풀고 관찰

근의합

1. 개수*가운데

2. 일단 직접 계산하고 그다음에 구조를 관찰

ex) t/5 + 3t/5 +t

1. (1+3+5)t/5 = {(m+1)/2}{(m+1)/2}/m

2. 일단 직접 계산을 하면 9t/5인데.. m=5일때 9=3^2, m=7일때 16=4^2이니까... 일단 기울기는 1/2이므로.. {(m+1)/2}^2/m

m=14가 나왔을 때, sigma(1~29)ak < 0 인지 알아보려면

a1, a2, ..., a29를 다 구하지 말고

a1 + a2 + ... + a29 = 29a15로 이용한다!!!

+에서 -로 항의 부호를 변경시킬거면

합에서 2*(변화량)만큼 바뀐다

관찰의 두가지 양상

1. -1<=x<=1 범위에서 x를 천천히 진행시켜 보는것(+값이 떨어지게 나오는 케이스를 최소 2개 확보해 각각 [-2,1] 구간을 표시하면 더 빠르게 정리할 수 있다.)

2. 조건을 만족시키는 해당 케이스를 생각해 보아서 특징을 찾음

[삼각함수]

{g(x)+g(x+1)}/2 = m(정수) ; (x+1)^2 = m => y=0, y=1, y=2, ... 순차적으로 그려서 근 개수 구하기

g(x+1)-g(x) = 2n(정수); x+1 = n ; x = n-1 => 부등식 풀기

tan(2θ)를 알면

이차방정식을 풀어서

tan(θ)를 구할 수 있다

|g(x) - f(x-k)| [k-1, k+1]

1. g(x) - f(x-k) 그리기

2. 절댓값 씌우기

3. 범위 적당하게 잡아주기

h(x) = |f(x)| + g(x) = 0이 근이 k이고 거기 접선이 y=0

1. 미분계수를 그림으로 살짝 접하게 그려서 그걸 대강으로 빼는 다음에 알맞는 지점을 찾는다

2. h(x) 개형을 아예 그려서 나중에 k가 어딘지 결정할수도 있다......

3. |f(k)|' = -g'(k)라는 것은 y=|f(x)|과 y=-g(x)가 (k,[])에서 접한다는 것을 의미한다.(좌미계 우미계 의미를 살리면, 꺾이는 부분에서는 생각하지 않는다고 생각한다)

h(x) = f(x) - g(x)

1. f'(x) - g'(x) = 0 을 식으로 노가다 풀기

2. y = f(x), y = g(x)를 그리고, 각 점마다 미분계수를 그림으로 살짝 접하게 그려서 그걸 대강으로 뺀다

<1>

직접 해본다(시뮬레이션)

ex) -1<=x<=1 범위에서 "진행"하기..

ex) 그래프 그리고 거기에 정수점들을 그린다

ex) f'(a) = b 가 주어지면 (a,f(a))의 위치를 대략적으로 알려주는 것도 된다

ex) 중간은 잘 모르겠으면 -∞와 +∞에서부터 시뮬레이션

보통은 |f(0)| = a로 나오면 f(x)에 대해서 풀겠지만

|f(x)| 자체를 함수로 생각하고 그리면 편할수 있다<그래프적으로 풀기>

ex)

<좌미계 우미계 조사할때 통째로 함수로 생각하고 그리면..?>

|f(x)|-a 의 0에서 좌미계 = -|f(x)|+a 의 0에서 우미계

∴ |f(0-)|' = -|f(0+)|'

미분계수 조사할때 그래프 그려서 판단할 수 있다!! + 계산적 요소(a 날아감)

<그래프적으로 풀기>

그래프의 특성을 활용(ex 지수함수 급격증가) 등등 그리고 하면

여러 케이스를 세워야 하는 수고를 줄일수도 있다

바로 보이니까......

교점이 1보다 큰지 아닌지 조사할때

a^(x+1) = b^x는

i) y좌표 비교(일반적)

ii) 그냥 근이 구해져서 그걸 부등식 풀음(여기선 특수)

x|f(x)|를 그리는 방법

1. xf(x)를 그린다

2. f(x)<0인 범위에서 위로 접어 올린다

1. 케이스에 맞는 그림들(점들을 위에 표시)을 그리고

2. g(1)>0, g(2)>=0, g(3) >=0, g'(4) >0 을 푼다. ("함수값, 미분계수 조건 : 점 위치 결정조건")

F(x)만 구하면 안된다

F(x) - F(4)를 직접 계산해서 식을 도출하면 이게 g(x)

구간별함수를 빠르게 케이스 나누는법

구간별함수를 모두 그리고

x=a를 이리저리 옯겨보면 된다

A * s = -A*s : s=0(0인자)

A * p = -A * q : p = -q(부호반대)

<절댓값불연속 * 불연속 : 연속 ㄱㄴ!!!>

1. a만큼 움직여야 한다

2. 그리고 나서, f(a)가 얼마만큼인지 알아야한다

3. 그러기 위해서, (a, f(a))의 위치가 필요하다

구하는 값의 변을

원에 내접하는 삼각형이 포함하고 있다면!!

각 theta, alpha, beta의 설정이

모든 시작의 첫걸음

1. k에 일일히 대입을 해본다(답없어짐)

2. 연립부등식을 푼다!!!!!!!

<유연한 부등식 이용>

|f(-2)| <= f(0) and |f(2)| <= f(0)

k, k+ 3/2...

특정 상황( t-> 1/2+)하에서의 식을 구하기!!!!

장황하게 모든 케이스를 구할 필요가 없다.