'WELCOME' TO STUDY KMO GEOMETRY

(KMO 기하에 들어가기전에 귀여운 고양이부터 보자 이 고양이는 너의 미래를 상징한다)

우선 글이 초장문이므로 글 소개부터 하겠다.

기하는 도움정리들을 많이 안다면 문제를 푸는데 매우 도움이 될것이다

이 글은 2 파트로 분류되는데 파트1은 너가 기본으로 알아야 하는 교과과정에서 배우는 필수 정보들, 파트2는 교과과정에서 거의 나오지 않지만 알면 매우 유용한 정리들에 대해 다룰 것이다.

만약 너가 기본이 탄탄하다면 파트1은 과감하게 넘겨도 좋다

이 문서는 반말과 존댓말이 혼재되어있을 것이다. 죄송합니다

PART 1

1. 삼각부등식

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81_%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D

삼각 부등식 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

삼각 부등식 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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매우 기본적이고 당연한 것이라고 생각할 수도 있지만 생각보다 많은 문제에서 유용하다

2. 삼각형의 ,합동 닮음조건

합동조건

• SAS 합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.)
• ASA 합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우.
• AAS 합동: 두 각과 이웃한 변의 길이를 아는 경우. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것과 ASA 합동으로부터 나온다.

• RHS 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 변의 길이가 같은 경우.
• RHA 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 각의 크기가 같은 경우.

닮음조건

• 대응하는 두 쌍의 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS닮음)
• 대응하는 두 쌍의 각의 크기가 각각 같을 때 (AA닮음)

3. 삼각형, 사각형

삼각형

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95

삼각형 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

삼각형 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

ko.wikipedia.org

문서 들어가면 제일 앞에 소개된 삼각형의 종류의 정의를 정확하게 기억해라 (정삼각형이 무엇인지, 이등변삼각형이 무엇인지 등등)

사각형

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%AC%EA%B0%81%ED%98%95

사각형의 종류와 정의를 정확하게 기억해라

4. 피타고라스의 정리와 sin, cos , tan

피타고라스 정리

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC

피타고라스 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

피타고라스 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

ko.wikipedia.org

이 정리는 너무 기본적인 정리니까 반드시 증명도 알아두라

사인 코사인 탄젠트

https://mathbang.net/155#gsc.tab=0

삼각비, sin, cos, tan

피타고라스의 정리에 이어 이번에는 삼각비입니다. 피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 세 변의 길이 사이의 관계였어요. 삼각비도 직각삼각형에서 변의 길이에 관한 내용입니다. 단순히 변의 길이가 아니라 변의 길이 사이의 비율에요. 피타고라스의 정리에서는 길이의 관계만 따졌는데, 삼각비는 각도에 관한 내용이 추가되었어요. 삼각비도 직각삼각형에서 구하는 거라서 피타고라스의 정리와 비슷한 부분이 조금 있지만 조금 더 어려운 내용이 나옵니다. 하지만 그 비율이라는 게 일정한 값을 가지고 있기때문에 복잡한 계산을 요구하지는 않으니 너무 걱정하지는 마세요. 삼각비 삼각비는 직각삼각형에서 두 길이의 비를 얘기해요. 꼭 직각삼각형이어야만 합니다. 직각삼각형이 아니면 안 돼요. 삼각비를 구할 때는 기준각이라는 게 있어요. 어..

mathbang.net

가능하면 그 함수들까지도 알아두면 좋다

피타고라스의 정리를 응용하면 sin제곱과 cos제곱의 합이 1이 됨을 알수 있을것이다.

5. 삼각형의 오심

내심 외심 무게중심 (수심 방심)

수심 방심을 처음들어본 사람도 있을 수 있는데 현재에는 교과과정에서 없어졌으나 잘 나오는 주제들이다.

수심, 방심만 따로 올린다

수심

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%88%98%EC%8B%AC_(%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99)

간단히 말해 수선의 교점

방심

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%A9%EC%A0%91%EC%9B%90

방접원 문서 방접원의 중심을 방심이라 한다. 방심은 특이하게 유일하지 않다.

(글이 너무 딱딱해진것 같아서 귀여운 고양이를 추가했다 지금까지 내용이 쉬워보이는가 정상이다)

6. 삼각형의 중점연결정리

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A4%91%EC%A0%90%EC%97%B0%EA%B2%B0%EC%A0%95%EB%A6%AC

중점연결정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

중점연결정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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7. 원관련 내용들

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90_(%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99)

그냥 이문서 하나 보면 된다. 만약에 모르겠는 말 나오면 그냥 무시하고 중학교 정도 수준의 말만 봐라 (접현각 같은 거는 스스로 증명도 해보고)

추가로

https://mathbang.net/190#gsc.tab=0

사각형이 원에 내접하기 위한 조건

원에 내접하는 사각형의 성질을 두 가지 공부했어요. 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°라는 것과 한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다는 거지요. 그러면서 이 두 가지 성질의 역이 성립한다고 했죠? 바로 이 성질의 역이 사각형이 원에 내접하기 위한 조건이에요. 따라서 사각형이 원에 내접하기 위한 조건은 따로 공부할 게 없어요. 한가지 추가해야 할 게 있는데 그것도 이미 공부한 내용이에요. 네 점이 한 원 위에 있을 조건이죠. 이 글은 새로운 걸 공부한다기보다는 이전에 공부했던 걸 한 번 더 정리하고 넘어간다고 생각하세요. 사각형이 원에 내접하기 위한 조건 사각형의 네 점이 원 위에 있을 때 사각형은 각이 네 개 또는 점이 네 개인 도형이죠? 사각형이 원에 내접한다는 말을 다르게 하면, 네 꼭짓점이 한 ..

mathbang.net

이것도 반드시 알아라 그 역도 증명해보고 (사실 공원점 증명이 KMO기하의 핵심중하나임)

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%A9%EB%A9%B1

방멱(power)도 꼭 읽어보고 (개인적으로는 방멱보다 power가 기억에 잘남음)

8. 내외각의 이등분선 정리

이 정리도 매우 중요한 정리이다

https://jwmath.tistory.com/106

삼각형의 각의 이등분선 정리(내각과 외각)

삼각형의 각의 이등분선 정리 삼각형 각의 이등분선의 정리는 내각의 이등분선과 외각의 이등분선 두가지가 있는데 각의 이등분선과 밑변 또는 밑변의 연장선의 교점이 밑변을 a：b 로 내분 또는 외분하는 점이라는 것을 말해 주고 있다. ■ 삼각형의 내각의 이등분선 a : b = c : d 증명) 그림과 같이 점 C를 지나고 직선 AD에 평행한 선을 긋고 반직선 BA의 연장선과 만나는 점을 E라고 하면 파란 두 선은 평행이므로 ∠DAC=∠ACE(엇각) ∠BAD=∠BEC(동위각) 그러면 삼각형 ACE는 이등변 삼각형이므로 △ABD와 △EBC는 닮은 삼각형이므로 이므로입니다. ■ 삼각형의 외각의 이등분선 a : b = c : d 증명) 그림과 같이 △ABC의 각 A의 외각의 이등분선과 선분 BC의 연장선을 그어서 만..

jwmath.tistory.com

이 정도면 중학교 내용과 필요한 내용을 복습했다고 생각한다. 그러면 이제 파트 2로 넘어가자

지금까지 파트 1을 읽어주느라 고생했다

(다시 귀여운 고양이를 보면서 심호흡좀 하자)

PART 2

이 파트를 읽을 때에는 파트 1을 볼때와 같은 가벼운 생각으로 볼 생각을 버려라

대망의 첫번째 정리이다 별표 3개 쳐라

1. 스튜어트 정리

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%8A%A4%ED%8A%9C%EC%96%B4%ED%8A%B8_%EC%A0%95%EB%A6%AC

스튜어트 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

스튜어트 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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이 정리는 간단하게 말해서 피타고라스 정리의 결과값이다. (피타고라스의 정리를 사용해서도 증명할수 있다)

반대로 말하면 피타고라스 정리만으로도 똑같은 결과가 나온다.

그래도 매우매우 유용하니 반드시 암기하자

이 정리의 의의는 개인적으로 변길이를 구하는게 가능한지를 쉽게 알수 있다는 것에 있다

2. 중선정리 (파푸스 정리, 아폴로니우스정리)

이 정리는 파푸스 정리(?)라는 이름으로 굉장히 유명한 정리이다

(이 정리의 이름은 굉장히 많다 정식명칭은 잘 모르겠다 그냥 파푸스중선정리라 하면 다 알것이다)

이 정리의 일반화시키면 위의 스튜어트 정리가 된다

증명은 그냥 스튜어트 정리에다 대입하고 정리하면 된다

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%84%ED%8F%B4%EB%A1%9C%EB%8B%88%EC%98%A4%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC

아폴로니오스 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

아폴로니오스 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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고등학교 수학을 수학의 정석으로 공부했다면 필수예제로 아마 해석기하로 증명하는 것을 접해보았을 것이다

다음의 두 정리에도 별 3개 쳐라

3. 사인법칙

미안하다 사과부터 하겠다

파트 2는 교과과정에서 나오지 않는 것을 다루겠다고했는데 사인법칙은 고등학교 과정에서 대놓고 나온다

파트 2를 중학교 교과과정에서 나오지 않지만 굉장히 유용한 정리를 다루는 파트로 수정하겠다

(귀여운 고양이보고 봐줘라)

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%AC%EC%9D%B8_%EB%B2%95%EC%B9%99

사인 법칙 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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문서 전체 다 보고 싶으면 봐도 되고 시간이 없으면 그냥 정의랑 증명만 봐라

이 정리는 고등학교에서도 배우고 KMO에서도 굉장히 유용한 정리이니까 반드시 암기해라

4.코사인 제 2법칙

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%BD%94%EC%82%AC%EC%9D%B8_%EB%B2%95%EC%B9%99

코사인 법칙 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

코사인 법칙 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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이정리는 간단하게 말해서 피타고라스정리의 확장판이다

문서에서 정의랑 증명만 봐라

이 정리도 이 문서에 나오는 고양이 수만큼 중요하다

이제 이 정리를 알게 됨으로서 너는 변의 길이를 알 수 있는 폭이 넓어졌다 (그렇다고 무리해서 18도 대입해서 풀지마라 )

만약 너가 초등학생때 삼각형의 합동을 생각해서 이정리를 추측했다면 너는 천재다

5.메넬라오스 정리

이제 다시 교과서에서 나오지 않은 정리가 돌아왔다

이 정리는 증명문제에서 많이 나오니까 반드시 암기해라 외울때 그리면서 외우면 쉽게 외워질 것이다

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A9%94%EB%84%AC%EB%9D%BC%EC%98%A4%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC

메넬라오스 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

메넬라오스 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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역정리까지 반드시 증명까지 암기해라

증명은 넓이비로 증명할수도 있다(나는 이방법을 선호한다)

6. 체바 정리

이 정리도 메넬라오스 정리와 비슷한 정리이다

증명문제에서 많이 나오니까 반드시 암기해라 (곱하기 나누기 곱하기 나누기 식으로 진행되니까 생각보다 위우기 쉬울것이다)

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B2%B4%EB%B0%94_%EC%A0%95%EB%A6%AC

밑에 각체바 정리도 있을 것인데 그것도 외우면 좋다

이 정리는 메넬라오스의 정리를 사용해서도 증명할 수 있을 것이다

7.제르곤 정리

혹시 이 글을 읽고 있는 분들에게

높이가 동일할때 밑변의 길이의 비가 넓이 비인 거는 다 알고 있죠?

그걸로 지금 5,6,7 다 증명할 수 있으니까 반드시 머리속에서 꺼낼 준비하고 게세요

(잠시 귀여운 고양이 좀 보자 갑자기 고양이가 나오지 않고 설명만 계속 나와서 당황한 너의 표정이다)

https://blog.naver.com/skh8464/220712489323

제르곤의 정리

제르곤의 정리는 체바의 정리와 매우 유사한 정리로 삼각형 내부의 점과 선분에 대한 정리이다. 이 ...

blog.naver.com

이정도는 외워도 좋은데 안 외워도 넓이비 사용하면 바로 나옴

8. 반아우벨 정리

반 아우벨인지 반 아우벌인지는 나도 잘 모르겠다

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%90_%EC%95%84%EC%9A%B0%EB%B2%8C%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC

잠시 삼각형 넓이 공식을 정리하자

1. S=ah/2

2. S=absin(C)/2

3. S=abc/4R

4. S=2R^2 sinA sinB sinC

5. S=r(a+b+c)/2

6. S=root(s(s-a)(s-b)(s-c))

증명은 따로 하지는 않을 것이고 사인법칙 코사인법칙을 사용하면 모두 유도 될것이다.

미지수에 대한 질문은 댓글로 적으면 바로 대답해드립니다

이제부터는 원과 관련된 여러가지 정리들에 대해 볼것이다

(귀여운 고양이 좀 보자 이 고양이는 잠깐 아는 거 나와서 좋아하는 너의 표정을 상징한다)

이 정리에도 별표 3개 치자

9. 톨레미 정리

이 정리는 매우매우 중요하다

심지어 증명과정도 매우매우 중요하니까

반드시 정의랑 증명을 암기해라

만약 너가 kmo를 준비하는데 톨레미 정리 하나 모른다면 정말 또라이 인거다

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%84%ED%86%A8%EB%A0%88%EB%A7%88%EC%9D%B4%EC%98%A4%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC

정말 재미있는 증명이다

톨레미 부등식이라는 것도 있는데 관심있는 애들은 찾아봐라

10. 우산정리

우산의 모양을 닮은 이 정리는 나름 유용한 정리이다.

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9A%B0%EC%82%B0_%EC%A0%95%EB%A6%AC

내각의 이등분선 길이

우산정리를 사용하면 쉽게 나올것이다

생각보다 많이 쓰인다

내각의 이등분선 길이 공식을 사용하면 외각의 이등분선 길이도 쉽게 나올것이다

11. 심슨 정리

개인적으로 재미있게 생각하는 정리이다.

만약 3개의 점이 한직선위에 있음을 보이고 싶다면 다양한 방법이 있겠으나 그 세점으로 이루어진 각이 180도 임을 증명하는 방법을 추천한다

https://jwmath.tistory.com/207

심슨의 정리

심슨의 정리 삼각형 ABC의 외접원 위의 한 점 X에서 이 삼각형의 세 변 또는 그 연장선에 내린 수선의 발 P, Q, R은 모두 한 직선 위에 있다. ■ 증명 임을 보이면 된다. 원의 지름에 대한 원주각은 90도라는 사실과 원의 내접하는 사각형의 마주 보는 각의 합은 180도라는 성질을 이용하여 보이면 된다. 이므로 두 점 P, Q는 지름이 BX인 원 위에 있다. 따라서 호 PX에 대하여 ∠XQP = ∠XBP ⋯⋯⋯① 원에 내접하는 사각형 ABXC에서 외각 ∠XBP의 크기는 그와 이웃하는 내각을 마주 보는 각 ∠XCA(즉, ∠XCR)의 크기와 같으므로 ∠XBP = ∠XCR ⋯⋯⋯② 이므로 두 점 Q, R은 지름이 XC인 원 위에 있다. 따라서 사각형 XCRQ는 원에 내접하므로⋯⋯⋯③① , ②, ③의 결..

jwmath.tistory.com

역증명이 없는데 역은 너가 스스로 한번 증명해보는 것도 좋을 것같다

12. 맨션정리

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A7%A8%EC%85%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC

가볍지만 중요한 정리

13. 세르보어 정리와 오일러 직선

(잠깐 이 귀여운 고양이 좀 보자 위의 정리들이 쉬워보이겠지만 증명도 함께 보고있어서 그렇게 느끼는 것 뿐이다. 이제 곧 큰 거 온다)

세르보어 정리와 오일러 직선을 같이 다루는 이유는 관련성이 너무나도 크기 때문이다

세르보어 정리와 오일러 직선

https://j1w2k3.tistory.com/935

[기하와 벡터 이론] 세르보어의 정리

01. 세르보어의 정리를 시작하며… 중학교 학생들 중 경시 대비하는 사람들만 안다는 세르보어의 정리입니다. 기하 문제를 풀던 중 우연히 보게 되어서 증명과정에 사용하는 원리가 수학공부에 도움이 될듯하여....이번에 포스팅을 합니다. 열심히 수학을 공부하는 분들에게 조금만 도움이 되기위하여~~ 02. 세르보어의 정리 이용 문제 03. 세르보어의 정리 04. 세르보어의 정리 증명 05. 외심,무게중심,수심관계 여기까지지가 winner의 설명입니다.

j1w2k3.tistory.com

밑에 있는 마지막 추가 내용의 결론이라는 게 오일러 직선의 내용이다

많이 중요하다

14. 오일러 삼각형 정리

혼자서 증명하기에는 많이 어려운 정리이다

위의 맨션정리를 응용해서 증명하는데 이를 통해 가볍지만 중요하다는 말을 이해할 것이다

참고로 정수에서 나오는 오일러 정리가 아니다(이 정리도 증명이 굉장히 재미있다. 관심 있는 사람은 찾아보는 것을 추천한다.)

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95_%EC%A0%95%EB%A6%AC

오일러 삼각형 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

오일러 삼각형 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

ko.wikipedia.org

이 정리를 직접적으로 사용하는 경우는 별로 없어서 그냥 지금까지 한 내용의 예제 느낌으로 생각하면 좋을 것이다

이정도면 매우 어려운 문제이다

이 문제를 스스로 증명하였다면 너는 진짜다

15.카르노의 정리

이건 그냥 톨레미 정리 문제이다

결과가 굉장히 신기하게 나올 것이다

이 정리는 너무 특수한 경우인지라 사용할 상황은 별로 없을 것이다

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B9%B4%EB%A5%B4%EB%85%B8%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC

문서에 증명이 없는데 스스로 증명해보기를 바란다

16.나비 정리

개인적으로 나비정리는 증명과정이 신기해서 좋아하는 정리이다.

https://www.youtube.com/watch?v=dDTkxBu4CXo

나비정리의 화려한 증명들

설명

www.youtube.com

https://www.youtube.com/watch?v=nW0xhgQZUwY

나비정리의 화려한 증명들-다른 버젼

나비정리의 화려한 증명들-다른 버젼

www.youtube.com

이 선생님이 잘 정리해 주었다.

이 선생님의 채널을 구독하는 것은 잊지 않기를 바란다.(저랑은 모르는 사이입니다.)

17.오일러의 구점원

(귀여운 고양이 좀 보자 이 고양이는 고양이가 언제쯤 나올까 생각하는 너의 표정을 상징한다)

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%AC%EC%A0%90%EC%9B%90

18. 내심, 외심, 무게중심 추가내용

https://namu.wiki/w/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95%EC%9D%98%20%EC%98%A4%EC%8B%AC

나무위키다 나무위키 내용은 최대한 안 넣을려고 했는데 결국 넣었다

다 볼 필요는 없다

저런 거 말고도 무게중심에서 세중선으로 만들어진 삼각형의 넓이는 기존 삼각형의 넓이의 3/4배인 것도 증명해봐라

이정도면 KMO기하의 기초적인 내용은 다루었다고 말할 수 있다.

혹시 틀린 부분, 이상한 부분, 중요한데 빠트린 정리같은 것들은 댓글로 적어주세요

지금까지 이 글을 읽어주어서 감사드리고 영재고 대비생들은 모두 원하는 영재고에 붙길 희망한다