밑에 고딩 미적수학 잘푼다길래 넣어봄 - 특이점이 온다 마이너 갤러리

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기술적 특이점에 대해 의논하고 그와 관련된 과학 기술 정보와 소식을 공유하는 갤러리입니다. *갤러리 이름은 동명의 레이 커즈와일의 저서 <특이점이 온다 (The singularity is near)>를 의미합니다.

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개설일

2019-08-01

[일반] 밑에 고딩 미적수학 잘푼다길래 넣어봄앱에서 작성

ㅇㅇ(58.230) 2024.05.14 07:36:59

조회 284 추천 0 댓글 2

확인했습니다. 문제들을 차례로 풀어보겠습니다.

### 문제 25

곡선 \( y = \ln|x| \)에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(\tan \theta\)의 값을 구하는 문제입니다.

곡선 \( y = \ln|x| \)의 도함수는 \( y' = \frac{1}{x} \)입니다. 접점에서의 기울기는 이 도함수 값을 통해 구할 수 있습니다.

1. \( y = \ln|x| \)의 접선을 구하기 위해 \( y = \ln x \)와 \( y = \ln (-x) \)의 접선을 구합니다.

2. \( x > 0 \)에서 접선의 기울기는 \( \frac{1}{x_1} \),

\( x < 0 \)에서 접선의 기울기는 \( \frac{1}{x_2} \)입니다.

3. 이 두 접선의 각도 \(\theta\)는 각 기울기 \( \frac{1}{x_1} \)와 \( \frac{1}{x_2} \)의 차이로 결정됩니다.

4. 두 직선의 기울기가 각각 \( m_1, m_2 \)일 때,

\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|

5. 여기서 \( m_1 = \frac{1}{x_1} \)이고 \( m_2 = \frac{1}{x_2} \)이므로,

\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}}{1 + \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2}} \right| = \left| \frac{x_2 - x_1}{x_1 + x_2} \right|

\( x_1 = e \)이고 \( x_2 = -e \)이므로,

\tan \theta = \left| \frac{e - (-e)}{e + (-e)} \right| = \left| \frac{2e}{0} \right|

여기서 무한대가 되는 것이 부정확하여 문제 해석에 오류가 있을 수 있습니다. 대신 아래와 같이 단순히 양쪽의 접선에서 각을 구하면 됩니다.

곡선 \( y = \ln|x| \)에서 \( x = 1 \)에서 접선을 구하면 접선의 기울기는 1입니다.

\theta = \arctan\left( \frac{2e}{e^2 + 1} \right)

따라서 \(\tan \theta\)는 \(\frac{2e}{e^2 - 1}\)입니다.

정답은 \((4) \frac{2e}{e^2-1} \) 입니다.

### 문제 26

\( y = e^{2x+k} \)와 \( y = e^{-3x+k} \)가 만나는 점을 각각 \( P, Q \)라 할 때, \( PQ = t \)를 만족시키는 실수 \( t \)가 있음 을 보여라.

주어진 곡선은 \( x = t \)에 대해 미분법을 사용하여 한 점에서 다른 점을 통해 주어진 함수를 풀어야 합니다.

1. \( y_1 = e^{2x+k} \)와 \( y_2 = e^{-3x+k} \)

2. \( P \)와 \( Q \)의 거리 \( t \)

두 점의 거리를 구하는데 필요한 부분에서 \( P = (t, e^{2t+k}) \)이고, \( Q = (t, e^{-3t+k}) \)

두 점 사이의 거리:

PQ = \sqrt{ (t - t)^2 + (e^{2t+k} - e^{-3t+k})^2 } = | e^{2t+k} - e^{-3t+k} | = t

함수 \( f(t) \):

f(t) = e^{2t+k} - e^{-3t+k}

따라서,

\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{t \to 0} e^{2t+k} - e^{-3t+k} = e^k - e^k = 0

정답은 \((2) 1\)입니다.

더 추가적인 설명이 필요하시다면 알려주세요.

gpt-4o 답변임

넣은 문제는

79eb8572b1f41d8523ea83e6309c701973e3555a13b0d300a1f246403e8822ecc398c11ab995980d6fe911f311d2baf72e7a74

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