밑에 수학문제 4o맞췄냐 - 특이점이 온다 마이너 갤러리

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2019-08-01

[일반] 밑에 수학문제 4o맞췄냐앱에서 작성

ㅇㅇ(125.141) 2024.05.19 15:08:08

조회 101 추천 0 댓글 0

주어진 함수 \( f(x) = \frac{e^x \sin(x)}{x^2 + 1} \)의 \( x = 0 \)에서의 접선의 기울기를 구하기 위해 \(f'(0)\)를 구해야 합니다. \( f'(x) \)는 \( f(x) \)의 도함수입니다.

먼저 \(\frac{d}{dx}\left[\frac{e^x \sin(x)}{x^2 + 1}\right]\)을 찾아야 합니다.

두 함수의 몫의 도함수는 다음과 같습니다:

\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \]

여기서 \( u(x) = e^x \sin(x) \)와 \( v(x) = x^2 + 1 \)입니다. 이제 \( u(x) \)와 \( v(x) \)의 도함수를 계산해보겠습니다.

1. \( u(x) = e^x \sin(x) \)

u'(x) = \frac{d}{dx}\left[e^x \sin(x)\right] = e^x \sin(x) + e^x \cos(x)

2. \( v(x) = x^2 + 1 \)

v'(x) = \frac{d}{dx}\left[x^2 + 1\right] = 2x

이제 몫의 도함수 공식을 이용해 봅시다:

f'(x) = \frac{(e^x \sin(x) + e^x \cos(x))(x^2 + 1) - e^x \sin(x) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}

이를 \( x = 0 \)에서 구해봅시다:

f'(0) = \frac{(e^0 \sin(0) + e^0 \cos(0))(0^2 + 1) - e^0 \sin(0) \cdot 2 \cdot 0}{(0^2 + 1)^2}

여기서 \( e^0 = 1 \), \(\sin(0) = 0 \), \(\cos(0) = 1 \)이므로:

f'(0) = \frac{(1 \cdot 0 + 1 \cdot 1)(1) - 1 \cdot 0 \cdot 0}{(1)^2} = \frac{1}{1} = 1

따라서 함수 \( f(x) \)의 \(x = 0 \)에서의 접선의 기울기는 1입니다. 정답은 2번입니다.

39b5d535ecdc3fb362bec4bc02c8696fb256f54f729206ade02f07db42221eb684544ee44bcdf26e76556e0b314f6f3a39

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