힘 F가 (공간적으로)보존적이고, (시간적으로)스태이셔널하면,

일(=힘의 입자의 이동 경로에 대한 적분) = 운동 에너지 변화량 = - 위치 에너지 변화량

이 성립하잖아?(일-에너지 정리) 이 때 운동 에너지는 T=mv^2/2로, 위치 에너지는 -∇V=F로 정의했지.


그렇다면 힘이 시간적으로 변하는 경우엔? 여전히 일도, 운동 에너지도, 위치 에너지도 전과 같이 정의하는 덴 아무런 문제도 없겠지.

그렇지만 위의 일-에너지 정리를 얻는데 했던 계산(두 가지)을 따라가보면, 전과 같은 결과가 얻어지지 않아.

일단 운동 에너지 변화량이 더 이상 힘의 이동 경로에 대한 적분으로 쓸 수 없는 것 같아.(두번째 줄에서 힘의 경로에 대한 적분 비스무리하게라도 바꾸고 싶은데, 뭐 더 이상 어떻게 해야할 지 모르겠음.)

그렇다면 반대로, 힘의 경로에 대한 적분에서 시작을 해서 어떻게든 위치 에너지와 연관시키려 노력해봐도 (explicit time-dependence에 대해선 생각하지 않는 셈이 되면서)실제 입자가 취하는 운동과는 아무 관련 없는 값만이 얻어지는 것 같아.(마지막 바로 윗줄과 같은 단순히 특정 시각에서의 두 위치 사이 위치 에너지 차이에 (-1) 곱한 거.)


일 = - 특정 시각에서의 두 위치 사이 위치 에너지 변화량

이지만, 그건 입자가 실제로 그 두 위치 사이를 F 속에서 이동했을 때 위치 에너지 변화량과도, (위에서 확인했듯)운동 에너지 변화량과도 명백히 달라.

그럼 남은 비교 대상은 하나지. 맨 마지막 항과 맨 첫번째 항. 이 둘은 아직 다르단 보장이 없고, 만약 같다면 매우 유용한 정리가 될 것 같아.(아마도) 근데 이게 잘 확인이 안돼. 마지막 항을 요리조리 바꿔봐도 첫번째 항 비슷하게도 안나옴.(확인 부탁.)


그 외에도 계산을 제대로 한 건지도 모르겠고, 뭔가 이 결과를 그럴듯하게, 또 빠짐 없이 해석을 한 건지도 모르겠어. 같이 생각 좀 해주라.