난 수학과도 수학교육과도 안나왔다...

그냥 공대생이다...삼류대학정도된다...

근데 젖고딩들보다야 낫지 않을까? 생각해서 적어보겠다...

내 논리가 틀렸다면 알려다오...

우선 0.999... 이라는 표현이 와 같다고 주장하는 사람들이 있는데

이걸 왜 같다고 하는거냐? 결과가 같다고 같은거면 1+1이랑 1+5-1-3도 같은거냐?

개념이 틀린데 같다고 보면 우선 틀린거지...그니까 표현하는 방법도 2개 있는거고...

그럼 이게 왜 틀릴까를 설명할 수 있으면 대충 다들 이 문제는 어려울게 없을 거야...

밑에 교수가 말했다는 글처럼 리미트는 가까이 가는 개념이고...

0.999...은 그냥 정확히 1인 수야...

즉 무한소개념으로 자꾸 드립하는 고딩들에게 어떻게 이 개념을 설명해야 할까?

그리고 해석학이나 입실론 드립치는 애들도 결국 이 사실을 모른다는거고

그들에겐 또 어떻게 설명해야 할까?

그러려면 장대한 글과 시간이 필요한데...여기까지 우선 읽고

저 두 표현이 왜 다른지 아는 사람은 알아서 스킵해줘...

그럼 내나름대로 느낀 저 문제에 대한 설명을 해보지...

무한이란 개념이 있어...

그리스의 수학자나 그 이후의 수학자들의 머리를 싸메게한 개념이지...

뉴튼이나 라이프니찌가 나올무렵...무한의 개념이 넘사벽을 깨고 발전했는데...

실무한과 가무한이란 개념인거 같아...

이 부분이 보통 고딩들에겐 어려운 부분인거 같고...나도 항상 헷갈리는 부분...

그도 그럴것이 과거 천재들이라 불렸던 사람들도 무한의 개념이 정립하기 전엔

계속해서 고민하던 부분이니 어려운 개념인거지...

제논의 역설...

가무한의 개념이지...

무한은 계속해서 커나가는데 정말 무한의 끝이 있을까?

끝이 있으면 유한 풀어서 한계가 끝이, 있다 라는 말이잖아...

무한소의 개념도 같이 생각해보면

유리수는 조밀성을 갖기 때문에 어떤 두 유리수 안에는

그 값들의 중간값이 존재한다는 것이고 이는 무한소란 존재할 수 없는 것이다...

그러므로 무한소의 개념도 0에 가까이 가는 개념이란걸 알 수 있다...

가무한이란 무엇인가? 세는 작업 즉 카운트를 해나갈때 그 순간 즉 카운팅시간이

아무리 작다하더라도 무한을 세는 작업은 무한한 시간이 걸린다는 것이다...

화살이 출발해서 과녁을 향해 날아갈 때

그 반을 지나야 하고...그 후에 그 반의 지점에서부터 과녁까지의 반을 또 지나야하고

이렇게 생각하면 반의 반의...무한반복이 생긴다...

이렇게 무한히 과녁에 가까이 다가가는데...그 무한을 만약 센다고하면...

사람은 무한을 셀수 없으니 화살은 과녁에 명중할 수 없다는 역설의 개념이 가무한이다...

그런데 신기한건 화살은 과녁에 꽂힌 다는 사실이다...

아무리 작은 시간에 지금까지 지난 반인 지점들을 세는건 무한한 시간이 걸릴것 같은데

화살은 날아가면서 그 반인 지점들을 세지 않는걸까?

보통 등비급수의 합의 공식으로 화살이 과녁에 맞는다는걸 설명한다...

음? 무한한 값들의 합이 무한이 아니라고? 여기서 가무한의 개념이 변화되는데...

어떻게 무한한 값들을 더해서 유한한 값이 나온거지?

예를 들어 점의 개념은 무한소의 개념으로 항상 논란이 되어 왔다....

그런데 점의 길이는 0이다...

그럼 선분의 길이가 1인 선분안에는 몇개의 점이 존재할까?

또한 그 점들의 길이를 다 더하면 몇이될까?

점의 길이는 0이 아니다 라고 치고 생각해보면...

아주 작은 길이일것이다...그러나 더하면 더할수 있다...

점의 길이가 0이라면 점이 100개 있어 그 길이를 다 더해도 0이다.

0 곱하기 100은 0이니까...

그런데 점들을 무수히 더하니까 선분의 길이가 1인 선분이 만들어졌다...

거꾸로 생각하면 점은 무한소의 거리를 가지고 있는 것일까?

그런데 처음에 말한것처럼 무한소는 존재할 수 없는데?

그래서 생긴 개념이 극한인 것이다...그 이전에 실무한의 개념이 잡히기 시작한것이고...

0에 가까운데 0은 아니고...0.9땡으로 생각하면 1에 가까운데 1은 아니고...모 이런것들...

이런걸 어떻게 표현할 수 없을까 생각하다보니 나온개념이 극한개념이다...

무한대를 발산의 개념으로 이해하고 있는 고딩들에게 다시 설명하면

발산은 가무한적인 생각인 것이다...자기가 말한거보다 더 큰 수가 항상 존재하는 무한...

그러나 실무한에선 무한을 유한화해서 생각할 수 있다...그렇게 보는거다...

극한도 가무한의 발전된 개념이지 실무한 자체는 아닌데...

점점 다가가는 개념에 대해선 가무한적인 개념이고...

그게 무한개가 되는 순간...실무한이 되는거다...

실무한이란건 칸토어의 무한집합개념으로 생각해보면 조금 이해될것 같다...

{9,9,9...}인 집합을 무한집합이라고 하고...요소의 개수가 무한개인 것이다...

즉 저 집합의 크기가 무한에 가깝게 가고 있는게 아니라...그냥 딱 무한인것이다...

다시보면 9가 저 집합에 계속해서 추가되고 있는 집합이 아니라

원래부터 9를 무한개 가지고 있던 집합이란거다...

이게 바로 0.999...의 표현이다...실무한인거다...

0뒤에 9가 무한개 있는거지...9가 계속해서 붙여지는거도 아니고

극한의 개념처럼 따로 표현해서 0.9+0.09+...의 개념도 아니란거다...

그러니 실무한인 것이다.

극한도 실무한 처럼 더하기를 무한번 한다...이 무한번 더한다가 실무한이지만...

달리 말하면 더해가는작업...이건 가무한적인 개념이다...점점 다가가는 작업...

그럼 극한의 수학적 논리는 무엇일까?

입델을 이야기하는 사람은 우선 틀렸다...그건 함수에 대한 극한을 이야기하려는것이고

입실론 앤을 이야기해야한다...

이 말하고자 하는건 뭘까?

x를 함수로 본다면 입델이지만 그전에 이해해야할 개념이 입실론 앤이니까...

함수로 보지 않고 실수나 유리수정도로 봐보자...즉 수직선개념이다...

이걸 수열로 나타내어 보자면

인 표현을 쓸 수 있고...

xn인 수열의 항이 무한으로 증가하면 1에 가까이 간다는 뜻이다...

이걸 말로 풀어보면...수열의 항이 무한개 존재해야 한다...실무한 개념...

다시 말하면 1까지 가는데 수열의 항이 유한하다면...즉 끝이 있다면...

그건 극한의 개념이 아니다...이건 가무한 개념...

바꿔말하면 1까지 가지만 궁극적으로 실무한의 항의 갯수가 무한개 있으면

1까지 간단 말로 항의 갯수가 셀 수 있다면

아무리 아무리 가봐도 1은 안된다고 역설적으로 말할 수 있다...

즉 저건 1이 아니다...고 봐도 좋다...

그런데 저 개념이 많이 필요하다...특히 해석학에서...미분적분에서...

그래서 쓰고 있는것인데...

식을 조금 바꿔서 저게 0이라고 해보자...

고딩들은 식 안보여주면 상상못하는애들도 있으니까 다시 보여주면

이라고 하자...이 개념이 무한소의 개념이지?

실제로 0은 아닌데 저걸 0이라고 보자란거다...즉 실제로 0이 아닌거다...

점과 선분의 이야기에서 처럼...점의 길이가 그냥 0이라면 더해봤자 0이다...

미분은 어떻게 생겨난걸까?

미미하게 증분하는 값을 알아내기 위해 생각해낸것이 미분이다...

어떤식에서 혹은 수열에서 다음항까지의 차이를 나타내는 것인데...

그 수열의 간격을 무한소로 줄인거다...

이 부분을 이해해보자...

왜 극한의 개념이 이렇게도 중요하게 생각되는지...

그리고 거기서 말하는 위식이 정말로 0을 의미하지는 않는다는 것도 함께 알아보자...

유명한 오류식이 있는데

이식은 어디에 오류가 있기에 이런 결과가 나온걸까?

그렇지 양변을 (a-b)로 나눴기 때문이다...

음? 왜 나누면 안되지? 그건 a=b이고 그러면 그 값이 0이기 때문이다.

음? 왜 0이면 나누면 안되지? 그건 0으로 나누면 값을 정할 수 없는 미정상태가 되기 때문이다.

자 이식을 잘보면...그 값이 정확히 0이면 나눠서는 안된다는 걸 알 수 있는데...

미분식을 살펴보자...그전에 미분식을 표현하는 도함수식...을 보자...

우선 미분의 개념은 입델이 필요하지만...그거보다...

두 수의 값과 그 두 수의 함수 값이 계산될 때...

그 차이를 비로 나타낸 기울기식이 있다...

이건 델타 엑스가 아직 0이 아니니까 문제가 없는데

미분은 저걸 한없이 작게 만드는 작업이다...

즉 극한의 개념이 필요하고...결국 식은...

이렇게 된다...

잘보자...델타엑스가 0으로 간다...이말은 델타엑스가 0으로 간다는건

위의 수열의 극한식 리미트 어쩌구 = 0 이식과 같은 의미이고...

그건 그 값이 0이란 소리다...맞냐?

극한의 값이 만약 정확한 그 값을 나타낸다면 미분 도함수식의 분모는 0이다...

조금 풀어서 생각해보자면...

우변식은 리미트가 바깥에 있는데...이걸 이렇게 표현해도 될까?

이부분은 나도 잘 모르는 부분이고 틀릴 소지가 다분하다...

그냥 개념적으로 이해하기 위해서...

이런식으로 표현했다고 치자...그럼...이건...분모가 0이 아니니까 나눌 수 있는 것이 아닌가?

만약 0인지 아닌지 모르는데 나눴다면...위의 설명한 오류식처럼 2=1이 되는거 아닌가?

이 개념을 잘 보면...델타엑스란건 수치를 가지고 있고 그 이후에 가무한적인 극한 개념으로

무한대까지 작게 가보자...란 것이기에 0으로 나눌 수 있다고 한다...

사실 0으로 나눈것도 아닌것이다...

적분으로 보면 함수식의 값은 선분이다....x축에서 함수값까지의 높이를 가지는 선분이고

이는 폭을 갖지 않으므로 2차원 면이 아니다...

그러므로 점과 선분처럼 더해도 면적이 생길 수 없다...

그런데 더했더니 면적이 나왔다...이게 의미하는건 선분으로 생각하지 않았다는것이고

면적의 폭을 점점 줄여나갔더니...실제로도 적분은 그렇게 푸는것이고...

위로 겹치는 면적과 아래로 겹치는 면적이 극한으로 같아진다는 걸 알아냈고...

각 델타엑스의 폭만큼 우선 가지고 있고...다 더한 면적을 극한으로 델타엑스를 0으로

보냈을때 면적이 그대로 유한하게 나온다는 성질을 이해했기 때문에 적분이 가능한것이다...물론 정적분이야기고...

무한소에 대해서 조금 더 들어가보자....

0근처란걸 알겠는데

극한의 개념으로도 좀 더 작은 놈을 찾아가는 게임같은거란건데...

위의 수열식의 극한 = 0 이걸 봐보면...

누가 0.9를 말했다...그럼 난 그거보다 더 작은 수 말할 수 있어...

0.09를 말했고 다음에 0.009 이런식으로 계속 작은 걸 말할 수 있을 것이다...

그런데 이러한 과정을 무한히 반복해도 0은 안된다는걸 알 수 있다....유리수가 조밀해서...

그러면 무한소를 위에 설명한것처럼 여러곳에 응용이 쉽게 되는데 쓰고 싶은데...

어찌하면 좋을까? 라고 생각하다 생각해낸게...입실론 앤개념이고 그게 극한의 정의이다...

우선 무한소보다...극한이 1인 걸 생각해보자...

위의 수열식 극한 = 1 인거다....수열의 항이 무한대로 가면...그 수열의 항의 값...즉 그 요소값은

1에 아주 가까이 간다...이걸 수식으로 표현하고 싶은거다...그러면 아주 가까이 간다는 무슨 뜻이지?

차이가 작다는 거고...무한히 계속 가까이 가도 그 값은 0이 되진 않아야 한다...모지? 무한소지...

그럼 그걸 어떻게 표현하면 되지?

위의 난 너보다 더 작은수 말할 수 있어인데...

이게 꽤 오묘하게 위의 반복되는 작업을 해주는 식이란 말이다...

우선 꽤 큰수를 N으로 정해보자...

그리고 어떤 수열의 n번째 항이 N보다 크면...즉 N번째 항보다 크다는 거니까...

N을 난 100000000이라고 했어....그러면 그거 보다 큰 100000100이든 모든...n번째있는 항의 값이

1과의 차이가 입실론이란건데...아니 입실론보다 작다는 건데...

(여기서 입실론의 정의는 0보다 크다...즉...크거나 같다가 아니라 0보다 크다만...이걸로 무한소를 표현한거다...)

입실론은 0보다 그냥 크고 n번째항의 값과 1의 차이가 입실론보다 작다면...이게 무한소 개념이구나...

입실론이 이런 상태로 가고 존재한다면 그게 무한소란 이야기다...

이걸 위의 게임으로 얘기해보면...

위의 N이 100일때 입실론은 0.01이면 위의 식을 만족한다고 해보자...

근데 이건 N이 100일때이니까...더큰수를 말하면 입실론은 만족하지 못하게된다...

그래서 N을 더 큰수를 말해야 한다...1000이라 하자...그러면 입실론은 0.001이 되었다 하자...

식을 아주 쉬운식으로 가정하고 입실론을 대충 말하고 있는거다...

그러면 이건 또 N이 1000일때까지는 맞는말이고 입실론도 그런거다...

그러니 더 큰수를 말해야하고...입실론은 더 작아지고...

근데 그 큰수보다 또 큰수가 있고...또 입실론이 작아지고....이걸 반복하는 식이란걸 알 수 있다...

저게 완전히 성립하기 위해서는 무한번 반복하는 수밖에 없고...그건 가무한의 개념으로

계속해서 큰수를 말하는 과정을 표현하고 있다고 할 수 있다....

그래서 미분도 분자가 0이 아닌것이다...아 어렵게 설명하네...참나....

극한이 정확히 그 값이 아니라는 걸 설명하기 위해서인데....

그러한 예로는 탄젠트식이 있다...

이건 미정인가? 무한대인가? 극한으로 본다면 무한대이다...

빗변이 아직 높이의 변?에 붙어 있는거다...아직 삼각형인거다...

근데 탄젠트 90도는 미정이다...삼각형이 아니다...

빗변이 떨어져 높이의 변과 평행을 이룬거다...

유명한 수능문제도 봐보자...

2011년 수리영역 나형 홀수형에선 14번 문제이다...이거 찾느라 고생했다...

아 크다...kice.re.kr에 있다....

이걸 보면...n이 커지면 삼각형은 점점 길어지고...

결국엔 빗변이 엑스축에 붙어 버리게 된다는 걸 알 수 있는데...

만약 극한의 값이 바로 그 값을 말한다면...저 삼각형안의 원은 찌부러질것이고...

삼각형은 그냥 직선이 될 것이고...저 극한값도 구할 수 없게 될 것이다.

그러나 구할 수 있다고 하니...아주 아주 조그만 원과 아주아주 긴 삼각형이 존재하는거다...

위에 말한 발산도 계속해서 커지는 걸 극한으로 설명하고 있다는걸 확인하자...

결국 0.999...가 리미트의 개념이 아니란걸 설명하려다 극한의 설명으로 넘어갔고...

극한의 값은 정확히 그 값을 나타내는건 아니란걸 설명했다...

그럼 0.999...의 ... 이건 몰 말하는건가?

무한집합이라 했는데...그건 뭘 말하는건가?

0뒤의 9들의 집합이란 말인데...그 집합의 크기..즉 요소의 개수가 무한개란거다...

무한히 늘어나는 개념이 아니란걸 이렇게 길게 설명했으니 알테고...

요소가 무한개 있는 집합이 상상이 되나?

그럼 천재다...

보통은 안되고 이해하기 어렵다...

근데 존재한다고 치자....라고 시작하는거다...

위의 선분의 길이기 1인 선분이 있다고 하자...

그 안에 점의 갯수는 무한개이다...그런데 그 점이 다 모이면 선분이 된다...

어떻게 유한한 길이 안에 무한한 점이 들어가 있을까?

유리수의 조밀성 실수의 완비성의 얘기고....

무한소는 없지 않나?란 얘기와도 상통한다...

계속 반으로 나눌 수 있으니까...

근데 웃긴게...선분의 길이가 2인 선분에도 점이 무한개 들어가 있고...

똑같은 실수의 점이라 하면...그 갯수도 같다란 거다...

무한대 곱하기 2가 무한대인것처럼...

이로인해 자연수와 짝수는 농도가 같다...밀도는 다르지만...

이 부분은 아직도 잘 모르는 부분이다...

길이 1인 선분을 2개 가져다 놓고 합쳐놓으면

그 안의 점의 갯수는 2 무한대 일 듯 하지만...

그냥 무한개 존재한다는 점...

아르키메데스의 바퀴에서 점들이 점프한다는 설명은

너무 진부하고 말이 안되어 보이는데...

그건 어떻게 설명할 것인가?

그것과 유리수와 실수에는 농도가 다르다는 점

멱급수를 이용해 얼마든지 농도를 증가시킬수 있는점

부분집합의 집합이란 모순된 집합을 상상함으로써...

수학의 논리가 참인지 알 수 없게된 불완전정리까지...

암튼 0뒤에 9가 무한개 존재하면 그건 1에 가까이가는 수가 아니라

그냥 1이다...그러니

1 - 0.999...가 무한소인냥 설명하려는 고딩들은 멈추어라...

저건 그냥 0이다!!!

니네들이 생각하는 무한소개념으로 표현하려면

극한을 이용해서밖에 표현할 수 없다...

혹은 입실론을 이용하던지...

기하학에...유클리드에서...

이런게 있다...점 x의 주변....우선 고대사람들은

점을 의심했는데 데카르트는 좌표란걸 알아냈고...

실재하지 않는다는 식으로 얘기한거 같은데...

점은 존재하는거냐? 아니면 좌표인거냐? 즉 없는거냐?

암튼 비선형최적화기법같은거 배우다보면

주변이란 말이나오고

이게 입실론 앤처럼 정의되어 있다...

밑에 어딘가 내가 쓴글에 있을 듯...

나중에 댓글에 달도록하고...

거길보면 내부와 클로저 경계등의 정의가 나온다...

결국 x>0 인거냐? 크거나 같다인거냐로 정의가 가능하다...

코시수열이나...상극한같은거도 설명하고 싶지만..내가 대충 이해하고 있으면 되는거고..

아아 어쩌란 말이냐?

암튼 0.999...가 극한이 아니란건 일본 위키에도 나와있다...

<U>http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...</U>

잘보면...초딩들이 자꾸 1-0.999...가 무한소로 착각하니까 잘 교육시켜라란 말도 있다...

아마 아무도 안읽겠지만...계속해서 위로 끌어 올려야지...키키...