이인석 책 보고 공부했고 지금 이인석 책 보면서 쓰고 있으니 이인석 내용임

케일리해밀턴 정리 : p(t)=det(tI - A)라고 할 때 p(A)=0이다.

우선 tI - A의 adjoint 매트릭스를 B(t)라고 하자. adj(tI-A)=B(t)

근데 생각해보면 임의의 정사각 매트릭스 M에 대해 3차부터 생각하면 (m_11 m_12 m_13/ m_21 m_22 m_23/ m_13 m_23 m_33)으로 성분들 다 써놓고 어드조인트 매트릭스니깐 m_11에 대한 어드조인트 성분만 쓰는 걸 tI-A라는 메트릭스에서 적용해보면 각 성분들이 t^(n-1)을 넘지 않는 것을 알 수 있다.

즉 따라서 내가 B_i들을 인위적으로 잡아준다면 B(t)= B_0 + tB_1 + t^2 B_2 + ... + t^(n-1)B_(n-1) 이라고 쓸수 있다.

근데 A adj(A) = det(A) I = adj(A) A 라는 공식에 의해

B(t)(tI - A) = adj(tI-A)(tI-A) = det(tI -A) I = p(A) I

라고 할 수 있다

p(A) = t^n + a_(n-1) t^(n-1) + ... + a_1 t + a_0라고 하고 위의 공식에서 가장 왼쪽 식과 가장 오른쪽 식을 비교해보면

-B_0 A = a_0 I

B_0 - B_1 A = a_1 I

요딴식으로 튀어나오게 되는데

p(A)꼴에 맞게 이 식들의 양변에 I, A , A^2 이런거 곱해줘서 다 더해버리면

p(A)=0가 됨