정의[편집]

k가 체라고 하자. 타원곡선은 다음 조건들을 만족시키는, 원점이 주어진, k에 대한 사영 대수 곡선이다.

• 특이점(singular point)을 가지지 않는다.
• 종수(영어: genus)가 1이다. (즉, 복소수체의 경우 위상수학적으로 원환면이다.)
• 적어도 하나의 유리점(영어: rational point)을 가진다. 즉, 대수 곡선을 정의하는 식을 만족시키는 점 (x,y)∈k2가 적어도 하나 존재한다. (이 점은 무한대에 있을 수도 있다.)

여기서 원점이 주어진 대수 곡선이란 순서쌍 (M,x0) (x0∈M, M은 대수 곡선)을 의미한다.

임의의 체의 표수에서, 타원곡선은 일반적으로 다음과 같은 같은 꼴의 식의 해의 집합으로 나타낼 수 있다.

y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6

만약 체의 표수가 2나 3이 아닌 경우, 타원곡선은 다음과 같은 꼴의 식의 해의 집합으로 나타낼 수 있다.

y2=x3−px−q

여기서 (1,x,y)는 2차원 사영공간의 동차좌표이다. 이렇게 나타낸 경우, 원점은 (0,0,1)이 된다. 이 점은 (x,y