~설득력을 높이기 위한 레드인증~

직관과 발상

이 글은 개인적으로 생각하는 문제 풀이 접근에 대해서 최대한 자세하게 기술하는 것을 목표로 합니다.

문제 풀이(Problem Solving, PS)는 문제를 해결하는 학문입니다. 한국에서 자라면서 가장 흔히 접하게 되는 PS 문제는 수능 수학이라고 할 수 있습니다. 그래서 PS에 대한 여러 생각들을 수능 수학에 빗대어 표현해 보겠습니다.

수능 수학에서 자주 다루어지는 주제 중 하나가 바로 '직관'과 '발상'입니다. 흔히 수학 잘하는 사람들끼리 문제를 풀고 나오면 ‘이 문제 너무 발상적이였다' 이런말을 하는 경우를 종종 볼 수 있을 것입니다. 하지만 발상적이다 라는 표현은 정말 어려운 표현입니다. 어떤 문제가 발상적인 걸까요?

간단한 예시를 시작으로 대화를 이어가 보겠습니다. |x - 5| > 3 이런 부등식이 있다고 합시다. 여러분들은 어떻게 문제를 푸실건가요?

대부분의 사람들은 두 가지 방법 중 하나를 떠올리게 됩니다.

1. x - 5를 그린 뒤, x축 기준으로 반전시켜 |x - 5|를 그리고, y = 3 직선을 그어 범위를 직관적으로 확인하는 방법

2. |x - 5|를 조건부 함수로 나누어 (x - 5 (x - 5 >= 0), 5 - x (x - 5 < 0)), 각 범위에 대해 부등식을 풀어 범위를 정리하는 방법

좋습니다. 여러분들은 이 풀이를 어떻게 떠올리셨나요? 아마 수학을 충분히 공부하신 분들이라면 별 고민 없이 바로 풀이가 나오는 경우가 태반일 것입니다. 왜 그런걸까요?

수학 문제를 잘 푸는 사람들은 문제를 보자마자 어떻게 풀어야 할지 직관적으로 알아차리는 경우가 많습니다. 이는 오랜 시간 문제를 풀면서 축적된 경험과 지식이 무의식적으로 체화되었기 때문입니다. 특히 절대값 함수와 같이 발상을 요하는 개념을 다룰 때, 이러한 직관은 더욱 두드러집니다.

절대값 함수는 그 자체로는 아무것도 할 수 없는 함수입니다. 예를 들어, 'x^2 > 3'과 같은 부등식은 양변에 제곱근을 취하면 쉽게 풀 수 있지만, '|x - 5| > 3'와 같은 절대값 부등식은 그렇지 않습니다. 이는 절대값 함수가 x의 값에 따라 조건부로 정의되기 때문입니다. x가 5보다 작을 때는 '5 - x'를, x가 5보다 크거나 같을 때는 'x - 5'를 반환하는 것이죠.

따라서 절대값 부등식을 풀기 위해서는 조건부로 나누어 생각해야 합니다. 이러한 아이디어를 '발상'이라고 부르며, 처음에는 의식적으로 떠올려야 하지만, 많은 연습을 통해 체화되면 무의식적으로 적용할 수 있게 됩니다. 이것이 바로 '직관'입니다.

중학교 때 처음 절대값 함수를 배웠을 때로 돌아가 보면, 아무도 이를 조건부 함수로 나누어 생각하지 않았을 것입니다. 하지만 절대값 함수에 대한 이해와 사고를 거치면서, 이러한 발상을 하게 됩니다.

그리고 이런 발상을 잘 정립해 놓으면 절대값을 보자마자 무의식적으로 ‘아 이렇게 풀어야겠다' 라는 생각이 정립이 됩니다. 이를 직관이라고 부릅니다

문제 풀이를 잘하는 사람들은 직관이 잘 정립되어 있습니다. 문제는 사실 굉장히 클 수 있지만, 이러한 ‘절대값' 처럼, 국소적인 여러 부분들에서 잘 정립되어있는 직관은 문제풀이의 좋은 도구로 작용합니다. 이러한 직관들이 쌓이면 문제를 풀 때 더 쉽게 접근을 할 수 있게 되는 겁니다. 이것이 발상의 능력을 좌우한다고 봐도 과언이 아니지요.

발상 기르기

그렇다면 어떻게 하면 발상 능력을 기를 수 있을까요? 수학 문제를 풀 때, 특히 수능 수학에서는 '필연성 부여'라는 표현을 많이 씁니다. 이는 문제를 해결하는 과정에서 자신이 떠올리지 못한 부분을 의식적으로 정리하고, 왜 그렇게 풀어야 하는지를 이해하는 것을 의미합니다.

예를 들어, 절대값 부등식 '|x - 5| > 3'을 풀 때, 우리는 x가 5보다 크거나 같은 경우와 5보다 작은 경우로 나누어 문제를 풉니다. 이때 '필연성 부여'는 이렇게 경우를 나누어 풀어야 하는 이유를 스스로 질문하고 정리하는 과정입니다.

즉, "절대값 함수는 x의 값에 따라 다른 식으로 표현되기 때문에, 경우를 나누어 풀어야 한다"라는 것을 깨달아야 합니다. 이렇게 필연성을 부여하는 과정을 통해, 유사한 문제를 만났을 때 해당 개념을 떠올리고 적용할 수 있게 됩니다.

이러한 필연성 부여는 단순히 문제의 정답을 맞히는 것을 넘어, 문제 해결 과정에 대한 깊이 있는 이해를 돕습니다. 이를 통해 문제 해결 능력을 향상시킬 수 있으며, 새로운 유형의 문제를 만났을 때에도 적용할 수 있는 사고력을 기를 수 있습니다.

따라서 수능 수학, 더 나아가서 ps영역 전체에서 좋은 성적을 거두기 위해서는 '필연성 부여'를 적극적으로 활용해야 합니다. 문제를 풀면서 자신의 풀이 과정을 돌아보고, 왜 그렇게 풀어야 하는지를 이해하려는 노력이 필요합니다. 이를 통해 문제 해결에 필요한 개념과 아이디어를 내재화할 수 있을 것입니다.

저는 ps를 공부할 때에도 이러한 접근으로 공부를 하는 것이 중요하다고 생각합니다.

업솔빙 역시 비슷한 이유로 중요하다고 할 수 있겠습니다. 그동안 못 풀던 문제들을, 실제로 풀 수 있게 되기까지 자기 자신의 능력을 키우는 과정이기 때문입니다.