다들 한 번쯤 궁금하셨을 법한 주제이고 나도 디게 궁금해서 열심히 구글링하면서 알아봤어.

이 문제는 확률론이라는 수학의 한 과목에서 '쿠폰 수집 문제(Coupon collector's problem)'로 잘 알려진 문제라고 해.

위키피디아의 해당 문서내용(https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector's_problem)에 따르면

n 종류의 쿠폰을 충분히 많이 담고 있는 바구니에서 매 시행마다 한 종류의 쿠폰을 복원추출할 때 n 종류의 쿠폰을 최소 한개 이상 뽑기 위해 필요한 평균 시행횟수 는

라고 알려져 있어

그러니깐 앨범으로 예를 들면 앨범 하나를 사면 포카 6종 중에서 1개를 랜덤으로 줬던 미니 2집 같은 경우에는, 옃레곤볼을 완성하기 위해서 사야하는 앨범의 갯수의 기댓값은

개 정도라는 거지

하지만 이번 미니 5집은 앨범 하나 당 포카 32종 중에서 '2개'를 랜덤으로 주잖아? n개의 포카 중 1개를 랜덤으로 주는 경우를 일반화한 위에 식으로는 옃레곤볼을 완성하기 위해서 사야하는 평균 앨범의 갯수를 구할 수 없어.

그래서 구글링을 더 해보니깐 나같은 호기심 많은 덕후의 마음을 먼저 알아본 한 블로거가 잘 포스팅해 놓았더라구 (http://zylevol.tistory.com/41)

이 블로그에 첨부되어있는 Cornell 대학의 Weiyu Xu 교수와 A. Kevin Tang교수의 논문 (https://arxiv.org/pdf/1010.5608.pdf) 13페이지에 따르면

n종류의 쿠폰 중 매 시행마다 서로 다른 d개의 쿠폰을 복원추출할 때 n종류의 쿠폰을 모두 최소 하나씩 뽑기 위해 필요한 평균 시행 횟수 는

로 근사한다고 알려져 있어.

여기서 은 d=1일 때니깐 맨 위의 식의 와 같을 수 있다고 할 수 있겠지?

따라서 32종의 포카 중 2개를 랜덤으로 주는 미니 5집의 경우 옃레곤볼을 달성하기 위해서 필요한 평균 앨범의 갯수는 n=32 이고 d=2일 때이니깐

그러니깐 미니 5집 앨범을 평균적으로 81장 정도 지르면 옃레곤볼을 완성할 수 있어

그런데 이것도 이정도 지르면 100% 옃레곤볼을 맞춘다는 소리가 아니라 '기댓값' 그러니깐 전세계 사람들한테 "미니 5집 다 까봐" 하고 옃레곤볼 맞췄을 때 까본 미니 5집 앨범 장수를 모두 기록해서 평균낸 값이 저 값이라는 거야.

지른 앨범 장수마다 옃레곤볼을 완성할 확률분포도 구해보고 싶지만 그건 도저히 머리가 아파서 못하겠다.

결론: 포카는 서로 교환하자

끝

Reference

https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector's_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution

https://arxiv.org/pdf/1010.5608.pdf

http://zylevol.tistory.com/41