사진에 안 찍힌 이후의 내용 :

h -> 0, k -> 0 이면, f_xy(x,y), f_yx(x,y)가 연속이므로, f_xy(x,y) =  f_yx(x,y) 이다. (증명 끝.)

사진 내용에 오타 있음. Δ = φ_x(x+Θ₁h) * h 인데, *h 가 빠짐.

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저기서 델타를 왜 저렇게 놓았냐고 물었었는데, 내가 이해해서 더 쉽게 써본다.

f(x,y) 에서 f(x+h, y+k) 로의 함수값의 총변화량을 ΔT 라고 하면, ΔT = f(x+h, y+k) - f(x,y)임.

여기에 x,y 둘중 어느 한 변수를 고정한 채로 다른 한 변수만 변화되는 중간 지점을 거치도록 하되

고정되는 변수의 순서가 서로 다르도록 끼워 넣어 보면

ΔT = f(x+h, y+k) - f(x+h, y) + f(x+h, y) - f(x,y) = f(x+h, y+k) - f(x, y+k) + f(x, y+k) - f(x,y) 가 된다.

이제 눈에 더 잘 보이게 위 등식에 그대로 중괄호를 씌우자.

--> { f(x+h, y+k) - f(x+h, y) } + { f(x+h, y) - f(x,y) } = { f(x+h, y+k) - f(x, y+k) } + { f(x, y+k) - f(x,y) }

이 식을 중괄호채로 서로 이항하면

--> { f(x+h, y+k) - f(x+h, y) } - { f(x, y+k) - f(x,y) } = { f(x+h, y+k) - f(x, y+k) } - { f(x+h, y) - f(x,y) } 가 된다.

 (사실 중괄호 풀고 정리해 보면 당연한 바보 등식이긴 하다. 중괄호는 단지 규칙성 파악을 위해 넣은 것일 뿐.)

이 식을 들여다보면 좌변의 중괄호에 묶인 각 항은 x값 고정하고 y만 변할 시의 f값의 변화량들이고,

우변의 중괄호에 묶인 각 항은 y값 고정하고 x만 변할 시의 f값의 변화량들이라는 규칙성에서 착안하여

φ(x) = f(x, y+k) - f(x,y) , ψ(y) = f(x+h, y) - f(x,y) 라고 각각 정의하여 위 등식에 도입해 보면

φ(x+h) - φ(x) = ψ(y+k) - ψ(y) 가 됨을 알 수 있다.

이 값을 Δ 라고 놓고서 이후 교재의 설명대로 평균값 정리를 통해서 증명하면 된다.ㅋㅋㅋ