양자장론에 관심있는 갤러들이 여럿 있는것으로 암

난 Zee를 만나기 전까지 12종 이상의 QFT 교과서/강의록을 넘겨보았지만 마음에 드는 책이 단 하나도 없어 고민이었음

Zee, Quantum field theory in a nutshell은 여러 가지 이유에서 최고임. 왜 이론을 그런 방식으로 전개해야 하는지 step by step 설명함에 있어 논리적 비약이 적고, 물리적 직관이 풍부하고, 다른 책에서 볼 수 없었던 계산과정(수학적 디테일)을 친절하게 보여주었음

이 책은 독자가 읽은 내용을 토대로 구체적인 질문(핵력의 작용범위와 양성자 질량 사이에 어떤 관계가 있을까?)에 답하도록 유도함으로써, 지금 하고 있는 계산의 의미를 알려주고 동기를 부여해 줌

다른 책도 그렇게 한다고? 보통은 배경지식을 쌓는 데 오랜 시간을 투자한 뒤에야 구체적인 문제를 다루지만, Zee의 독자는 단 30페이지만 읽고도 그걸 할 수 있음.

자, 아래 글에서 우리는 학부 양자역학과 경로적분, 특수상대론을 이해하고 있고 플랑크 상수, 진공에서의 광속, 양성자의 지름을 알고 있는 물리학도임.

그럼 Zee 첫 30페이지를 이해하고 양성자의 질량을 예측해 보자

(화질개선은 나중에 생각나면 할것)

1. 경로적분

학부 양자를 배운 사람이라면 대학원 수준 교과서에서 해당 챕터만 쓱 읽고 경로적분을 배울 수 있다

Z는 좌표 q_i에 놓인 입자를 시간 T동안 evolve시킨 뒤 q_f에서의 값을 본 것이니까, |Z|^2은 q_i의 입자를 T 후에 관찰했을 때 q_f로 이동할 확률이라고 이해하면 되겠다. 입자가 많은 경우에는

포텐셜을 이렇게 쓴 이유는 입자들이 스프링으로 연결된 '스프링 매트리스'를 field의 모델로 삼고 싶기 때문.

이 모델에서 a,b 등은 입자를 세는 label이고, q_a는 a입자의 높이. 인접한 입자의 높낮이가 다르면 적색 스프링에 에너지가 저장되고, 입자의 높이가 0에서 멀면 은색 스프링에 에너지가 저장되는데("매트리스에 무게가 있다") 이를 포텐셜함수 두 항이 각각 표현하고 있다. 이제 매트리스가 부드러운 장처럼 행동하도록 입자 사이의 간격을 0으로 보내면

q_a-q_b가 함수 q의 미분으로 표현되기 때문에 이런 꼴의 식을 얻는다. S는 사실 작용(action)이고 우변의 피적분항이 라그랑지안인데, 상대론(고전장론)을 배웠다면 변분원리를 사용해 운동방정식을 구할 수 있다. 결과는 일종의 파동방정식이고 만약 rho(=매트리스의 무게)=0이었다면 진공 중의 전자기파와 완전히 같은 행동을 보일 것

그런데 mu, kappa가 잘 주어지지 않으면 위 라그랑지안은 로렌츠 불변이 아니다. 양자장론이란 특수상대론+양자역학이니까 우린 로렌츠 불변인 라그랑지안을 원한다.

그래서 파라미터들을 잘 scale하고 나면 다음과 같은 장론을 얻는데

매트리스의 상태를 나타내는 변수는 입자들의 높이밖에 없으니까 scalar field의 이론이 나왔다. 그런데 전자기학에선 장이 혼자 움직이는게 아니라 전하와 상호작용하는데, 우리 매트리스도 외부 입자와 상호작용하게 만들려면 어떻게 해야 하지? 이는 곧 운동방정식(파동방정식) 우변에 source term을 집어넣는 방법이 뭐냐는 질문인데

쉬운 답은 q에 대해 선형인 coupling term을 라그랑지안에 집어넣는 것! 운동방정식을 다시 구해 보면 정확히 우변에 source term J가 들어온 것을 볼 수 있다. 참고로 covariant notation에서 x는 시간을 포함하는 변수고, 만약 우리가 전자기장의 장론을 하고 있었다면 시간에 따라 변화하는 전하/전류도 J(x)로 표현할 수 있겠지.

하지만 우린 초보자니까 포텐셜에는 장의 질량(매트리스의 무게)만 넣고, source로는 한 점에 붙박인 입자만 집어넣자

지금까지 우리가 한 건 free scalar field에 source particle을 넣은 양자장론을 만드는 것뿐이지만, 이 도구만으로 바로 nuclear interaction을 attack하는 것이 Zee의 탁월함을 보여준다

유카와 히데키는 어떤 장과 핵자의 coupling에 의해 핵력이 발생한다고 제안했다. 두 핵자의 상호작용을 기술하기 위해 우리 이론에 두 개의 source입자를 집어넣어 보자

D는 Klein-Gordon 방정식의 Green함수인데, D를 사용해 Z를 위와 같이 쓸 수 있다는 것은 Zee 22페이지에 훌륭하게 설명되어 있다.

Z(0)는 source가 없을 때의 Z로, 구체적인 값은 중요하지 않다

그러면 W가 네 개의 항으로 나뉘는데 이중 W_11, W_22는 입자1, 입자2의 self interaction이니까 무시한다. 우린 1,2 사이의 힘을 알고 싶으니까!

Z는 본래 q_i상태에서 q_f상태로 가는 propagator였다는 점을 상기하자. 우리의 source 입자들은 두 점에 붙박여 움직이지 않으니까 field가 time evolve할 배경의 역할만 한다. 마치 infinite well potential에 갇힌 입자의 파동함수를 구할 때 포텐셜 자체는 고정된 배경인 것과 같다.

이런 배경 하에서 scalar field의 ground state \ket{0}가 있을 것이다. q_i=q_f=\ket{0}를 넣으면

E는 ground state energy다. 그런데 W를 W_int와 나머지 부분으로 나누고, E도 E_int와 나머지 부분으로 나누면 exp{i W_int}=exp{-i E_int T}임을 알 수 있다. 따라서 두 번째 식을 얻는데 E_int가 바로 두 source입자의 상호작용에 의한 포텐셜에너지이다

부산물로서 학부 교과서 연습문제로 여러 차례 등장한 Yukawa 포텐셜이 어디서 나온 건지도 알게 되었다

이 Yukawa 포텐셜은 r이 대강 1/m보다 커지면 빠르게 작아지기 때문에, 핵자의 상호작용 거리와 질량 사이에 반비례 관계가 있음을 알 수 있다

거리가 매우 멀어지면 힘의 크기가 0이 되기 때문에 이것만으로는 quark confinement 등 더 어려운 성질들을 볼 수 없지만, 우리가 원자핵을 잘 관찰해서 핵자들이 어느정도 거리에서 힘을 주고받는지(대강 1 펨토미터이다) 안다면 핵자의 질량을 추정할 수 있다

우리가 줄곧 hbar=c=1인 단위계를 사용했기 때문에, 1/r에 hbar, c를 적절히 곱해서 질량의 단위를 갖도록 하면

핵자의 질량은 10^{-27} kg

아래는 구글 검색결과

Zee를 30페이지 읽으면 양성자의 질량을 맞출 수 있다