[A] 17세기 후반에 뉴턴은 태양 중심설을 역학적으로 정당화하였다. 그는 만유인력 가설로부터 케플러의 행성 운동 법칙들을 성공적으로 연역했다. 이때 가정된 만유인력은 두 질점이 서로 당기는 힘으로, 그 크기는 두 질점의 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다. 지구를 포함하는 천체들이 밀도가 균질하거나 구 대칭을 이루는 구라면 천체가 그 천체 밖 어떤 질점을 당기는 만유인력은, 그 천체를 잘게 나눈 부피 요소들 각각이 그 천체 밖 어떤 질점을 당기는 만유인력을 모두 더하여 구할 수 있다. 또한 여기에서 지구보다 질량이 큰 태양과 지구가 서로 당기는 만유인력이 서로 같음을 증명할 수 있다. 뉴턴은 이 원리를 적용하여 달의 공전 궤도와 사과의 낙하 운동 등에 관한 실측값을 연역함으로써 만유인력의 실재를 입증하였다.

1. <보기>를 참고하여 [A]에 대해 추론한 것을 나열하였다. 다음 중, 이에 대해 바르게 이해하지 못한 학생은? [3점]

<보기>

구는 무한히 작은 부피 요소들로 이루어져 있다. 그 부피 요소들이 빈틈없이 한 겹으로 배열되어 구 껍질을 이루고, 그런 구 껍질들이 구의 중심 O 주위에 반지름을 달리

하며 양파처럼 겹겹이 싸여 구를 이룬다. 이때 부피 요소는 그것의 부피와 밀도를 곱한 값을 질량으로 갖는 질점으로 볼 수 있다.

(1) 같은 밀도의 부피 요소들이 하나의 구 껍질을 구성하면, 이 부피 요소들이 구 외부의 질점 P를 당기는 만유인력들의 총합은, 그 구 껍질과 동일한 질량을 갖는 질점이 그 구 껍질의 중심 O에서 P를 당기는 만유인력과 같다.

(2) (1)에서의 구 껍질들이 구를 구성할 때, 그 동심의 구 껍질들이 P를 당기는 만유인력들의 총합은, 그 구와 동일한 질량을 갖는 질점이 그 구의 중심 O에서 P를 당기는 만유인력과 같다.

(1), (2)에 의하면, 밀도가 균질하거나 구 대칭인 구를 구성하는 부피 요소들이 P를 당기는 만유인력들의 총합은, 그 구와 동일한 질량을 갖는 질점이 그 구의 중심 O에서 P를 당기는 만유인력과 같다.

A. 밀도가 균질한 하나의 행성을 구성하는 동심의 구 껍질들이 같은 두께일 때, 하나의 구 껍질이 태양을 당기는 만유인력은 그 구 껍질의 반지름이 클수록 커지겠군.

B. 질량이 M 인 지구와 질량이 m인 달은, 둘의 중심 사이의 거리만큼 떨어져 있으면서 질량이 M , m인 두 질점 사이의 만유인력과 동일한 크기의 힘으로 서로 당기겠군.

C. 태양을 구성하는 하나의 부피 요소와 지구 사이에 작용하는 만유인력은, 지구를 구성하는 모든 부피 요소들과 태양의 그 부피 요소 사이에 작용하는 만유인력들을 모두 더하면 구해지겠군.

D. 반지름이 R , 질량이 M 인 지구와 지구 표면에서 높이 h에 중심이 있는 질량이 m인 구슬 사이의 만유인력은, R + h 의 거리만큼 떨어져 있으면서 질량이 M , m인 두 질점 사이의 만유인력과 크기가 같겠군.

E. 태양의 중심에 있는 질량이 m인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력은, 지구의 중심에 있는 질량이 m인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력과 크기가 같겠군.

① 무현 : 밀도가 균질한 하나의 행성을 구성하는 동심의 구 껍질들이 같은 두께라면 부피가 크기 때문에 질량도 커. 만유인력의 크기는 두 질점의 질량의 곱에 비례하므로, 구 껍질의 반지름이클수록 만유인력이 커지기 때문에 A는 옳은 답이야.

② 대중 : 지구와 달 사이의 만유인력은 지구의 각 부피 요소와 달 사이에 작용하는 만유인력의 합으로 구할 수 있어. <보기>에 따르면 지구의 한 부피 요소와 달 사이에 작용하는 만유인력은, 지구의 한 부피 요소와 '달의 질량과 동일한 질량 m을 갖는 질점' 이 그 중심 (달의 중심과 동일)에서 지구의 한 부피 요소를 당기는 만유인력과 같다고 했어. 여기서 나아가 이러한 '달의 질량과 동일한 질량 m을 갖는 질점'의 중심과 질량이 M인 지구 사이의 만유인력은 마찬가지로 '지구의 질량과 동일한 질량 M을 갖는 질점'이 그 중심에서 '달의 질량과 동일한 질량 m을 갖는 질점' 사이의 만유인력과 동일해. 따라서 질량이 M인 지구와 질량이 m인 달 사이의 만유인력은 그 거리가 동일할 때 질량이 M,m인 두 질점 사이의 만유인력과 동일한 힘으로 서로 작용하므로 B는 옳은 답이야.

③ 재인 : 태양을 구성하는 하나의 부피 요소와 지구 사이에는 만유인력이 작용해. 지구는 무한히 작은 부피 요소들로 구성되어 있으므로 태양을 구성하는 하나의 부피 요소와 지구 사이에 작용하는 만유인력은 지구를 구성하는 부피 요소들 중 하나와 태양의 그 부피 요소 사이에 작용하는 만유인력들을 모두 구해서 더할 수 있기 때문에, C는 옳은 답이야.

④ 근혜 : C와 같이, 반지름이 R, 질량이 M인 지구와 지구 표면에서 높이 h에 중심이 있는 질량이 m인 구슬 사이에는 만유인력이 작용해. 이때 지구의 중심과 구슬의 중심 사이의 거리는 R+h로 계산돼. 따라서 '지구의 질량(M)과 동일한 질점' 과 '구슬의 질량(m)과 동일한 질점' 사이의 거리가 R+h라면 두 질점 사이에 작용하는 만유인력은 지구와 구슬 사이에서 작용하는 만유인력의 크기와 같다고 할 수 있으므로 D는 옳은 답이야.

⑤ 정은 : <보기>에 따르면 태양의 중심에 있는 질량이 m인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력은 지구를 구성하고 있는 껍질들의 합계와 동일한 질량을 갖는 지구 중심의 질점을 당기는 만유인력과 같아. 지구 중심에 있는 질량이 m인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력은 태양을 구성하고 있는 껍질들의 합계와 동일한 질량을 갖는 태양 중심의 질점을 당기는 만유인력과 같지. 지구 껍질들의 질량 합계는 태양 껍질들의 질량 합계보다 작고, 만유인력은 질량에 비례하기 때문에, 한 질점이 m으로 같다면 만유인력의 크기는 다르게 되므로 E는 틀린 답이야.