[FAQ] 상자안의 새

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허각(121.161) 2014.04.30 13:50:35

조회 1266 추천 1 댓글 10

여러개의 입자로 구성된 계에서 i번째 입자에 작용하는 힘과 가속도에 대한 운동방정식은 다음과 같다.

$gif.latex?\\mathbf{F}_i = m_i\\mathbf{\\ddot{r}}_i$ (1)

여기서 i번째 입자에 작용하는 힘은, 외력(중력과 수직항력)과 내력(입자들 간의 상호작용 - 저항력, 마찰력, 전자기력 등)으로

나눌 수 있다.

$gif.latex?\\mathbf{F}_i = \\mathbf{f}^{e}_i+\\sum_{j\\neq i}\\mathbf{f}_{ij}$ (2)

$gif.latex?\\mathbf{f}^{e}_i$ 는 i번째 입자에 작용하는 외력(external force)으로 중력( $gif.latex?\\mathbf{f}^g_i$ )과 저울의 수직항력( $gif.latex?\\mathbf{f}^n_i$ ) 이 있다.

$gif.latex?\\mathbf{f}^e_i =\\mathbf{f}^g_i+\\mathbf{f}^n_i$

(중력은 모든 입자에 작용되고, 수직항력은 저울에 닿아있는 입자들에게만 작용하지만 편의상 모두 표기함.)

(공기압력도 외력이나, 저울에 영향을 주지 않으므로 생략함. 저울과 밀폐된 상자를 진공중에 둔 것으로 가정.)

$gif.latex?\\mathbf{f}_{ij}$ 는 내력(internal force)으로 j번째 입자가 i번째 입자에 주는 힘이다.

각 입자의 운동방정식을 모든 입자에 대해 더하면 다음과 같다.

$gif.latex?\\sum_i\\mathbf{F}_i = \\sum_i\\mathbf{f}^{e}_i+\\sum_i\\sum_{j\\neq i}\\mathbf{f}_{ij}=\\sum_im_i\\mathbf{\\ddot{r}}_i$ (3)

여기서 가운데의 두번째 항(내력의 합)은 작용/반작용 법칙 ( $gif.latex?\\mathbf{f}_{ij}=-\\mathbf{f}_{ji}$ )에 의해 사라진다.

$gif.latex?\\sum_i\\sum_{j\\neq i}\\mathbf{f}_{ij}=0$ (4)

따라서 총힘의 합은 외력의 힘의 합과 같다.

$gif.latex?\\sum_i\\mathbf{F}_i = \\sum_i\\mathbf{f}^{g}_i+\\sum_i\\mathbf{f}^{n}_i=\\sum_im_i\\mathbf{\\ddot{r}}_i$ (5)

우변을 무게중심 $M$ 과 질량합계 M에 대해 표시하면 다음과 같다.

$gif.latex?\\sum_i\\mathbf{f}^{g}_i+\\sum_i\\mathbf{f}^{n}_i=M\\mathbf{\\ddot{R}}$ (6)

만일 상자 전체의 무게중심이 가속하지 않는다면 우변은 0이고, 수직항력의 합은 각 입자에 작용하는 중력의 합과 같다.

$gif.latex?\\sum_i\\mathbf{f}^n_i = -\\sum_i\\mathbf{f}^g_i= -M\\mathbf{g}$ (7)

상자의 무게는 수직항력 합의 크기와 같으므로 새가 상자내에서 정지해 있을경우 새의 무게까지 합산한 무게가 된다.

(6)번 식을 이용하면 상자내의 어떤 운동에 대해서도 저울의 무게를 쉽게 계산할 수 있다.

(연습문제1) 새가 자유낙하 하면 상자의 무게는?

(연습문제2) 새가 등속으로 위로 올라갈 경우 상자의 무게는?

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