평소에 가챠하면서 상당히 궁금했는데 시간이 없어서 계산을 못 했었고

이쁜 의상이나 오시캐뽑을때 천장도 쳐보고 재정 상의 상당한 위기도 몇 번 겪어 보면서

철저한 계획을 세우지 않고 무지성으로 가챠하다보면 정말 재정파탄 날것만 같아서 계산하는 김에 방갤에도 게재해봄.

원래는 주말 오기 전에 올려서 마이고가챠 도전하는 사람들에게 도움이 되게 하려 했는데 시간이 없어서 너무 늦음;;

 *** 수학적인 것을 보고 싶지 않은 사람들은

볼드체로 된 부분과 밑줄 쳐진 글씨만 참고하면 좋습니다.

그것도 귀찮으면 결론 및 요약 ㄱㄱ

 우선 가장 눈여겨 주목할 점은 50연마다의 반천장. 비록 통상에밖에 적용이 안되나

이 반천장이라는 시스템이 얼마나 획기적으로 우리들의 지갑을 보호해주는지 수치적으로 직접 확인해보고 싶었다.

 방도리 겜의 가챠 구조는 대략 이렇다.

 1. 조작이 없고 확실한 랜덤이다. 즉, 매번의 가챠는 서로 독립이고 동일한 분포를 따른다.

 2. 300회를 찍으면 무조건 내가 원하는 카드 하나를 먹을 수 있다. 이러한 현상은 흔히 '천장을 친다'라고 불린다.

 3. 1회 가챠를 시도할 때마다 250스타가 든다. 보통은 10회 가챠를 2500스타를 주고 시행하지만 일단 이 분석에서는 1회씩 하는 것으로 하자.

 가장 먼저, 이 반천장이 적용되기 전의 상황을 먼저 살펴보자.

평균적으로 얼마를 써야 내가 원하는 가챠를 얻을 수 있을까? 그리고 그 불확실성은 얼마나 될까?

이 상황은 옛날 얘기가 아니라 드림페스나 키라페스에 한해서는 현재도 적용이 되며 확률은 통상과 동일하니 바로 적용이 가능함.

 예를 들면 가장 최근에 열린 드페. 

우선 상황의 단순성을 위해 난 다른 카드엔 관심이 없고 젖은사요겨드랑이만 뽑고 싶다고 해 보자. 

 이 카드는 인게임에서 확률이 0.501%라고 명시를 해 놓았다. 즉, 다시 쓰면 0.00501이다. 우리는 이를 확률모수 p라고 지정한다.

(즉, p := 0.00501이라 정의한다).

확률론에서 대부분 집중하는 것은 '평균'과 '분산'이다.

평균은 내가 평균적으로 몇 번 가챠를 꼴아박아야 이 사요를 먹을 수 있는가? 이며

분산은 내가 평범한가? 아니면 내가 비틱인가? 아니면 나만 운업서? 인가의 척도를 따지는 나나미지수라고 생각하면 된다.

(분산이 클수록 평범하지 않은 놈들이 졸라 많은거고 분산이 작을수록 모두가 평범하게 된다).

보통은 분산이라는 지표에 루트를 씌워서 표준편차라는 것을 대신 쓰며, 

평균과 표준편차라는 두 가지의 지표를 이용하여 '대략 얼마정도의 스타를 쓰면 얘를 먹을 수 있겠다' 를 추정 가능한 것이다.

 이 평균과 분산을 계산하기 위해선 두 가지의 방법이 있다.

첫째론 수학적으로 계산하는거고, 둘째로는 그냥 시뮬레이션을 돌리는 것이다.

이 글에선 가능한 한 둘 다 한다.

 확률을 계산하는 건 그리 어렵지 않다. 간단하다. 아래의 사진을 보자.

 예를 들어서, 내가 딱 한 번 뽑았는데 0.05%의 확률로 사요가 바로 나와버리는 미친 비틱의 경우가 있을 수 있다.

그렇다면 딱 한번 뽑아서 비틱할 확률은 0.05% 그대로다.

만약에 그렇지 않다면, 2번 뽑아서 사요가 나오는 확률은, (첫번째 시도에선 못 뽑았는데 두 번째 시도에선 뽑을 확률) 이 된다.

만약에 그렇지 않다면, 3번 뽑아서 사요가 나오는 확률은, (첫번째와 두번째에서 못 뽑았는데 세 번째 시도에선 뽑을 확률)이 된다.

이런 식으로 귀납적으로 확률을 구성해나가 300번까지의 확률질량함수를 계산해낼 수 있다.

300번째는 그냥 천장을 친 경우이므로 확률 1로 무조건 뽑게 되므로, 299번 실패할 확률만 계산하면 된다.

실제로 이 확률들을 전부 더하면 1이 되므로 확률질량함수의 조건을 만족한다.

 평균과 분산을 구하는 방법은, 고등학교 과정의 경우엔 확률과 통계 시간에 배우고, 대학교에선 확개응이나 교양통계학 등의 과목에서 배우게 된다.

어차피 여러분들은 이 글에선 직접 계산하지 않을 것이니 그냥 확률질량함수로 계산이 가능하구나~ 정도만 알아두면 된다.

 결론적으로, 평균적으로 이 경우에는 155.3647번의 가챠를 시도하면 사요를 뽑을 수 있고,

이 때의 표준편차는 105.7668번이다. 즉, 이게 무슨 소리냐면

1시그마(1표준편차)의 범위를 따져 볼 때 운이 좋으면 50번, 운이 나쁘면 261번의 가챠를 돌리면 사요를 얻을 수 있다는 말이 된다.

 이게 감이 안 온다면 스타로 환산해서 생각해 보자. 그냥 250만 곱해주면 된다.

평균적으로 38900스타를 꼴아박으면 사요를 획득할 수 있고, 표준편차는 26441스타이므로

1시그마(1표준편차)의 범위를 따져 볼 때 운이 좋으면 12399스타, 운이 나쁘면 65282스타를 쓰면 된다는 뜻이다.

즉 내가 키페/드페에서 12000스타 이하로 써서 사요를 얻으면 운이 졸라 좋은 거고, 65000스타 이상 쓰면 똥 밟았다 생각하면 된다.

평균적으로 4만스타는 쓸 각오를 해야 한단 소리다.

 위 사진은 위에서 계산한 각 시행횟수별 확률질량함수를 그래프로 표현한 것이다. 다른 그 어떤 확률보다도 천장을 칠 확률이 압도적으로 높다.

참고로 이러한 경우 네가 천장칠 확률은 22%로, 5번의 키페/드페를 시도할 때마다 평균적으로 한 번은 천장을 치게 된단 소리다.

 두 번째. 그렇다면 새로생긴 반천장 제도가 너희들의 지갑을 얼마나 보호해주는 것인가?

이 글의 메인 핵심인, 이번 뽑기에서 토모리를 먹고 싶은데 몇 스타를 써야 하는가? 에 대한 대답이 된다.

 확률은 똑같이 0.501%로 명시되어 있지만 50가챠를 할 때마다 해당 가챠가 밀어주는 카드들 중 하나를 확정적으로 준다.

즉, 50회마다 토모리/아논/소요 셋 중 하나를 확정적으로 준다. 이떄의 확률 계산은 다음과 같이 변한다.

 일단 여기까진 이전의 상황이랑 똑같다.

 그런데 50번째 가챠부터 확률이 좀 바뀐다. 이때는 확정적으로 무언가의 카드를 얻지만, 내가 원하는 토모리가 꼭 나오는 것은 아니다.

이때는 아논과 소요를 얻을 수도 있으니 1/3의 확률로 토모리를 얻을 수 있는 것이다.

이러한 식으로 100번째, 150번째, 200번째, 250번째... 를 쭉 계산해서 천장까지의 확률을 계산할 수 있다.

 물론 모두 합하면 1이 되므로 확률질량함수의 조건을 만족한다.

 위의 사진은 시뮬레이션을 돌려 얻어낸 히스토그램(회색 나무토막들)과 실제 이론적으로 계산한 확률질량함수(검은색 실선)이다.

한 눈에 봐도 확인 가능하지만 사실 첫 번째 반천장에서 토모리를 먹을 확률(26%)이 제일 크고, 진짜 순수천장을 칠 확률은 3%로 확 적어졌다.

똑같은 방식으로 계산하면, 너는 이번 가챠에서 토모리 하나를 먹기 위해서 평균적으로 22681스타만 쓰면 된다.

표준편차는 17461스타이므로, 웬만치 불확실성을 고려하면 대략 (5220, 40143)스타를 쓰면 토모리를 먹을 수 있다.

그 이하 쓰면 운이 끝내주게 좋은 놈이고 그 이상 쓰면 운이 진짜 없는 거라고 생각하면 된다.

 반천장 제도가 평소 쓰는 스타의 양을 진짜로 반토막내준 셈이다.

 세 번째. 드페나 키페의 경우엔 카드가 여러가지가 나올텐데, 아무거나 먹고 싶다. 그럴 땐 어떤가?

내가 주로 그러는데 이 네 가지 카드 중에서, 모종의 이유로 아무나 하나만 나오고 빠르게 익절치고 싶은 방붕이가 있을 것이다.

이 경우엔 p=0.02004로 비약적으로 그 확률이 증가하게 되며,

 확률질량함수도 매우 유해지게 된다.

 이 경우엔 평균적으로 12446.31스타만 쓰면 되며, 그 표준편차는 12173.86스타이다.

즉, (272.4458, 24620.1660) 스타 내에서는 앵간하면 한 카드만 먹고 익절이 가능하다.

 네 번째. 이번 가챠에서 토모리, 아노쨩, 소요링을 모두 얻고 싶다. 이럴 때는 스타를 얼마 쓰게 되나?

이 경우엔 확률변수가 세 개(토모리를 뽑을 때까지 시도한 횟수, 아논에 대한 횟수, 소요에 대한 횟수)인데 서로 독립이 아니라서 결합확률질량함수를 계산하기가 무척 머리아파진다(모든 경우의 수를 각각 계산하면 구할 수는 있다. 근데 수능으로 따지면 배점 9~10점 정도의 시간과 귀찮음을 요구함).

 그래서 그냥 시뮬레이션만 돌렸다.

10만명의 로봇 방붕이들을 동원해서 가챠를 돌려서 이 셋을 얻을 때까지 시도한 횟수를 세 보게 했다.

 시뮬레이션이라서 돌릴 때마다 결과가 조금씩 다를 수 있다. 다만 주목할 점은 여기서 천장을 두 번 쳐서 먹은 방붕이가 존재했다는 것이다......

반천장 제도 덕을 본 방붕이들이 상당히 많음을 확인할 수 있다.

좌우지간 이때는 평균적으로 39777.82스타를 쓰면 셋 다 먹을 수 있고, 그 표준편차는 17855.79이다.

즉 (21922.03, 57633.61) 스타 내에서 엥간치하면 셋 다 먹을 수 있다는 말이다.

 보너스. 생일가챠

 첫째 케이스랑 완전 똑같은데 천장횟수만 100회이다.

평균 19702.5스타, 표준편차 7957.268스타, 1시그마범위 (11745.23, 27659.77).

 결론 & 요약

 1. 키페or드페or옛날통상의 경우 평균 38900스타, 표준편차 26441.

 2. 통상 원하는거 하나를 콕 집어서 먹을 경우 평균 22681스타, 표준편차 17461스타.

 3. 키페/드페에서 아무거나 하나만 먹고자 하는 경우 평균 12446.31스타, 표준편차 12173.86스타.

 4. 통상에서 세 가지 카드가 나왔는데 이를 모두 먹고플때 평균 39777.82스타, 표준편차 17855.79스타.

 5. 생일가챠 평균 19702.5스타, 표준편차 7957.268스타.