이번에는 다변수해석학, 집합론, 일반 대수론 교재에 대해서 적습니다.

다변수해석학

Spivak, Calculus on Manifolds
대학원 수준이라 여겨졌던 다변수해석학을 학부 수준으로 끌어내린 전설의 교재 baby Spivak입니다. <Calculus on Manifolds>의 혁신은 미분기하학이라는 방대한 분야에서 스토크스 정리를 증명할 때 필요한 정의와 정리들만 딱 찝어서 학부 한 학기에 실제로 그린정리, 발산정리, 스토크스 정리를 엄밀히 다룰 수 있게 한 것인데요. 이 후 다변수해석학을 다룬 모든 교재가 baby Spivak의 영향을 받았다 해도 과언은 아니겠지요.

하지만 다른 교재들이 많이 나와있는 요즘 baby Spivak은 너무 짧은 감이 있습니다. Spivak의 교재가 모두 그렇듯이 아름답고 어려운 연습문제가 참 많이 실려있는데요. 150쪽만 가지고 다변수함수의 연속성의 정의부터 스토크스 정리의 증명까지 해결해야 한 터라 서문에 <연습문제는 모두 풀어보길 권장함>이라고 써 놓고 실제로 연습문제를 소정리로 사용하는 경우가 참 많습니다. 안그래도 짧은 증명에 증명 안 된 소정리도 여기 저기서 툭툭 튀어나오니 초심자가 읽기에는 상당히 힘든 교재이지요.

Munkres, Analysis on Manifolds
이 baby Spivak에 부연설명을 추가해서 두 배 정도의 크기로 늘여놓은 교재가 바로 <Analysis on Manifolds>입니다. James R. Munkres는 잘 알려진 수학 교재 저자인데, Munkres교수가 쓴 모든 교재의 공통점은 <친절함>이라고 볼 수 있겠네요. 이미 분야에 정통한 사람이 읽기에는 지루하지만 초심자가 공부하기에는 딱 알맞을 정도의 교재를 잘 쓰시는 분입니다. 증명은 절대로 빼놓지 않고, 긴 증명은 왜 어디서 이런 테크닉이 적용되어야 하는가 상세하게 풀어서 설명해줍니다. 물론 그렇다고 다변수해석학이 쉬워지는 것은 아닙니다만...

Fleming, Functions of Several Variables
Spivak이나 Munkres 부류의 다변수해석학에 대한 추상적인 접근이 싫으시다면 Fleming을 추천합니다. 위상적 접근을 최소화하고 고전적인, 어찌보면 무식한 (!) 테크닉을 주로 하여 스토크스 정리까지 가는 책입니다. Spivak이나 Munkres에서 다루지 않는 조금 더 해석적인 내용들도 포함되어 있습니다만, 오래된 교재라 읽기가 조금 힘들 수도 있겠네요.

집합론 / 수리논리

Hrbacek/Jech, Introduction to Set Theory
Enderton, Elements of Set Theory
Suppes의 <Axiomatic Set Theory>나 Stoll의 <Set Theory and Logic> 등 오래된 도버 교재를 제외하면 사실 시중에 나와있는 기초집합론 교재가 몇 없습니다. (적어도 제대로 된 교재는 몇 없다고 보는 게 맞겠지요) 그 중에 Hrbacek/Jech이나 Enderton이 상당히 괜찮은 입문서입니다. 두 교재가 많이 비슷한데 (학부 집합론에서 다뤄야 하는 내용이 대부분 정해져 있기 때문에), 굳이 비교를 하자면 Hrbacek/Jech은 cardinal을 먼저 정의하고 ordinal을 정의하는 반면에 Enderton은 ordinal을 먼저 정의하고 cardinal을 나중에 정의합니다. 보통 집합론을 체계적으로 다룰 때 후자를 택하는 경우가 대부분이기 때문에 Hrbacek/Jech이 약간 스탠다드에서 벗어난다고 볼 수도 있겠는데요. Thomas Jech교수님이 세계에서 가장 유명한 집합론 교재를 집필하신 분이라는 사실을 감안했을 때 다 뜻이 있으셔서 그러셨으리라 믿습니다. 아, 그리고 Hrbacek/Jech이 Enderton보다 전반적으로 더 깔끔한 교재입니다.

Enderton, A Mathematical Introduction to Logic
집합론과 마찬가지로 수리논리학도 괜찮은 교재가 몇 없습니다. 비전공자들 (일반인, 철학 전공자들, 컴퓨터공학 전공자들 등등)을 위한 교재는 아주 많습니다만 (Barwise/Etchemendy부터 Priest까지) 전공자들을 위한 제대로 된 교재가 몇 없는게 문제인데요. 그렇다고 Alfred Tarski의 고전을 처음부터 읽을 수는 없지않습니까. 그나마 Enderton이 괜찮은 교재인데 대수학이나 위상수학을 공부해 본 경험이 없다면 예제부족으로 조금 읽기 힘들수도 있습니다.

Kunen, Set Theory
'참인지 거짓인지 알 수 없음을 증명할 수 있는 명제가 있다는데 도대체 이게 무슨 말입니까? 이 질문에 대한 대답을 알고 싶으시면 Kunen을 읽으시면 됩니다! 한 학기 정도의 집합론을 공부했다는 가정하에서 Martin's axiom부터 forcing까지 아주 깔끔하게 정리해놓은 교재이지요. 이 교재의 끝부분에 다다를때 쯤 되면 당신도 Paul Cohen흉내를 낼 수 있습니다.

아, Cohen이 쓴 <Set Theory and the Continuum Hypothesis>라는 책은 건드리지 않는것이 좋습니다. 집합론에 관한 아무런 배경지식 없이 읽어도 되는 교재 흉내를 열심히 내려고는 하는데... Cohen이 원래 해석학자였고, 수리논리에 관한 배경지식이 무에 가까운 상태에서 continuumn hypothesis를 접하고는 forcing이라는 무지막지한 테크닉을 개발해내서 CH가 결정불가능임을 증명해 낸 것을 고려해보면... 이 아저씨가 하는 말 믿으면 안됩니다. 절대로.

Jech, Set Theory
집합론의 바이블 Jech입니다. 집합론을 전공하고 싶으시면 Jech을 한 권 사서 한 삼 년정도 진득히 끼고 앉아서 첫 페이지부터 끝까지 읽으시면 됩니다. Forcing을 다룸에 있어서 보통 대부분의 집합론자들이 쓰는 poset을 사용하지 않고 boolean algebra를 사용해서 기술하고 있는데요. BA를 통한 forcing이 <철학적>으로 더 쉽다나요. 하여간 말이 필요없는 교재입니다.

일반 대수

Herstein, Topics in Algebra
Artin, Algebra
""Herstein과 Artin은 참 재미있는 교재들입니다. 둘 다 현대 대수를 한번도 접해보지 않는 학생을 대상으로 쓰여진 책이고 (이 수준에서 선형대수 없이도 읽을 수 있는 추상대수 교재가 그리 흔하지는 않습니다), 둘 다 상당히 어려운 교재들이며 (Spivak의 Calculus가 미적분을 한번도 공부하지 않은 학생을 대상으로 쓰여진 것 처럼), 둘 다 제멋대로인 교재들입니다. Israel Herstein의 경우는 교수의 강의는 정리가 잘 안되어있고 동에서 번쩍 서에서 번쩍하는 반면에 교재가 아주 정리가 잘 되어있고, Michael Artin의 경우는 강의 스타일이 아주 깔끔하지만 교재가 엄밀성이 많이 떨어지는 편입니다. 특히 Artin같은 경우는 교재의 취지 자체가 "엄밀성에 집착하기 보다는 수학적 직관력을 기르는 것"이다 보니 학부 대수학 커리큘럼에서 보기 힘든 내용도 적절히 쉽게 잘 설명해 놓은 반면에 전체적으로 교재가 약간 엉성한 편입니다. 정리나 정의를 찾아보려고 하면 도무지 어디 쳐박혀있는지 알 길이 없고, 어렵게 찾으면 증명은 대충 휘갈겨놓은 경우가 태반이고...사랑해주기 참 힘든 교재입니다. 하지만 워낙 방대한 내용을 알기 쉽게 설명해 놓은 터라 Artin을 좋아하는 학생들도 아주 많습니다. Herstein의 경우는 조금 더 고전적이고 깔끔한 접근법을 택하고 있습니다.

현대 대수를 처음 접하는 (상위권) 학생이라면 Herstein과 Artin을 둘 다 구해보는것을 권장합니다. 둘 중 더 마음에 드는 것 하나를 주교재로 택하고 나머지 하나는 주교재와는 다른 관점을 습득하기 위해서 보는 것이 좋습니다.

Dummit/Foote, Abstract Algebra
조금 더 스탠다드한 교재를 원하신다면 Dummit/Foote이 상당히 괜찮습니다. 첫 교재로는 약간 어려운 감이 있긴 하지만 Dummit/Foote만큼 기초예제를 지루하리만큼 성실하게 풀이해 놓은 교재가 또 없습니다. 따라서 추상대수를 이미 어느정도 공부한 상태에서 보기엔 상당히 지루한 교재이지요. 후배나 기타 다른 학생들이게 대수를 설명해야 할 때 떠올리기 귀찮은 기초 예제를 찾기에도 아주 유용한 책입니다.

Gallian, Contemporary Abstract Algebra
Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra
Hungerford, Abstract Algebra: A First Course
사실 저는 Herstein, Artin, Dummit/Foote보다 수준 낮은 대수학 책을 볼 바야에 차라리 다른 수학을 더 공부하고 준비가 되면 대수학을 봐야한다고 생각하는 편입니다만...세상이 자기 뜻대로만 되는 경우는 별로 없지 않습니까. 단학기 교재로 유용한 교재들인데, Hungerford가 특이하게 ring theory부터 먼저 시작한다는 점을 빼면 사실 그게 다 그겁니다.

Lang, Algebra
'대수학 교재의 전설, Lang의 <Algebra>입니다. Exact sequence의 정의가 15쪽에 나오던가요? 하여간 지독하게 어렵고 짜증나고 밥맛떨어지는 교재입니다...만, Lang만큼 좋은 교재가 또 없습니다. Lang의 끝머리에 나오는 악명 높은 연습문제가 하나 있지요. <호몰로지 대수 교재를 아무거나 하나 구해서 책에있는 모든 정리를 증명을 보지 말고 스스로 증명해볼 것>이라고요. 온갖 욕이 튀어나올지도 모르겠습니다만, Lang과 열심히 싸우다 보면 실력이 참 많이 늡니다. 아주 아주 많이 늘어요. (UC Berkeley 교수 George Mark Bergman가 자신이 쓴 <A Companion to Lang's Algebra>를 인터넷에서 무료로 배포하고 있으니 찾아보시면 도움이 될 겁니다)

Hungerford, Algebra
Hungerford는 Lang이 두려우면 보는 교재입니다. 나쁜 교재라는 말은 아니고 쉬운 교재라는 말은 더더욱 아닙니다만, Lang에 비해서 뭔가 포스가 좀 많이 떨어지지요. Hungerford만 봐도 사실 꿀릴 일은 별로 없습니다.

Jacobson, Basic Algebra, vol. 1 & 2
Jacobson은 참고서로 가지고 있으면 괜찮은 책입니다. 세세한 것까지 다 나오고 Lang이나 Hungerford가 연습문제로 집어넣은 정리들의 증명들도 대부분 실려있는 편입니다. 더군다나 Volume 2는 다른 일반 대수학 교재에는 전혀 나오지 않는 내용도 많이 나오지요. 하지만 주교재로 쓰기엔 상당히 지루한 책입니다. 정말 정말 지루한 책입니다.

MacLane/Birkhoff, Algebra
범주론의 창시자인 MacLane의 관점대로 쓰인 대수학 책입니다. 방대한 내용을 담은 책 치고는 놀랍게도 현대 대수학을 한번도 접해보지 않은 학생들도 읽을 수 있게 쓰여져 있습니다. 하지만 챕터의 순서가 요즘 대학에서 가르치는 순서와 많이 달라서 수업을 위한 참고서로 쓰긴 조금 힘들겠네요. 시간제약 없이 천천히 진정한 <추상> 대수의 묘미를 느끼고 싶으시다면 추천할 만한 책입니다. 범주론에 대한 설명은 당연히 매우 잘 되어있고, multilinear algebra에 관한 설명도 다른 책에 비하여 상당히 상세하게 잘 되어있습니다.

갑자기 글 삭제 되서 저도 깜짝 놀랐습니다. 네이버 사용해서 복원 했구요
아계귀님 항상 감사하고 있습니다.