전에 나는 동적 최적화 푸는 접근법에 1)라그랑지언

2)해밀토니안(폰트리아진 극대화 원리) 3)벨만 방정식(동적계획법)

세가지 정도로 나뉜다라고 한적이 있다.  

그리고 동적최적화를 공부하는데  무슨 수학이 필요하냐? 같은

질문이 많이 나와서 라그랑지로 된다고 증명한 적도 있다.

그런데 세가지 사이에

무슨 관계가 있는가?

일단 라그랑지언과 해밀토니안은 사실상

같다. 둘 사이엔 르장드르 변환 근본적인 관계가 있어서 왔다리

갔다리 할수 있기 때문에 수학적으로 같다고 봐도 무방하다.

그럼 2,3은 무슨 관계인가?  이것  가지고  거시 교과서 스타일도

갈리는듯 하다. 위킨스나 갈리 같은 표준적인 책은 1,2)위주로

서술되어 있지만 recursive글자 붙은 책은 3)위주이다.

이 글에선  계산의 문제를 제쳐두고 근본적인 관계를 보겠다.




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  사진의 1)은 전형적은 연속시간형  동적 최적화 문제 세팅이다.

통제변수 c를 선택해서 기간 t0, t1사이의 효용함수u와

유산함수Q를 극대화 하는것이다.

상태변수 k는 운동방정식  f를 따르고 나머지는 기초조건과

기말 조건이다.  이것들은 유한시간이지만 무한기간의 문제로 쉽게

일반화 할수 있다. 이런 형태를  Ramsey model이라고

하는데 c는 소비이고 k는 자본으로 표현하는 유서깊은 세팅이다.

2)-1은 재귀관계식이라 하는데 왜 이게 1)의 동적 최적화 문제를

푸는지는 주제에 집중하기 위해 생략하겠다. 석사 1학기 정도면

배울것이다

기본아이디어는 t0에서 t1까지의 최적화 문제를 극소의 기간으로

쪼게서 여러번 나눠 최적화 하는것이다

2)-1의 J(k+dk,t+dt)를 테일러근사하고 대입해서 dt->0으로

보내면 식 2)-2가 나오는데 이를 벨만 방정식이라고 정의하겠다

(이것도 구체적 도출은 시간나면) 주목할 점은

이 식은 편미분 방정식이란 점이다 극대화 함수 J가 시간 t에도

의존하고 상태 K에도 의존하기 때문이다.

식 3은 헤밀토니안 H의 정의와 그 1계 조건을  적었다.

ㅅ(람다)를 공상태 변수라고 하는데 기본적으로 라그랑지언의 람다

와 같은 해석이다. 람다에 현재가치계수 e^-rhot를 곱한것을

현재가치 람다라고 하는데 ㅅ에 윗작대기 그은걸로 정의하였다

해밀토니안 1계조건도 다 안다고 보고 과정은 생략하겠다

과정이 궁금하면 아쎄몰로구 책 부록이나 알파치앙 마지막 챕터를

보길  바란다.

다음 사진의 식4는  벨만 방정식에서 헤밀토니안 1계 조건을

유도하였고 이 글 주제다.

4-1은 벨만 방정식  양변에 현재가치계수 e^-rho*t를 곱하였다.

표현의 편의를 의해  (e^-rho*t)*J를 J작대기로 정의함


4ㅡ2는 극대화 함수J에 초기 상태변수 k를 편미분하면 그냥 람다

임을 나타낸다  이는 포락선 정리의 응용인데

이것도 증명은 생략

4-3은 밸만 방정식 괄호안의 식이 4-2를 이용하면 해밀토니안과

같다는 의미이다

4-4는 4-3의 결과로 벨만 방정식 안을 그냥 헤밀톤 H로 대체한

것이다 특별히 이런 편미분 방정식을

HJB(해밀톤 야코비 벨만)  방정식

이라 부르고 유명한 식이다.

4-5,6,7은  벨만 방정식에서 해밀토니안 1계 필요조건을

유도하겠다. 자체는 쉽다.


4-5는 HJB 방정식을 k로 미분하였다

4-6은 포락선정리식  4-2를 t로 미분하였다

두 식에서는 공통적으로 교차편도함수  d^2J/(dk dt)가

존재하는데

이걸 대입해서 지우고 정리하면 식 4-7이 된다

dJ /dk의 이계 미분항이 0이 아니므로 위식이 성립하려면

ㅅ닷=-dH/dk 이고 k닷=dH/dㅅ 이어야 한다.

그런데 이건 해밀턴 1계 조건이다

즉 벨만에서 해밀턴을 유도할 수 있다(그 역은 불가능한 듯)

여기서 주목할점은 벨만 방정식은 편미방이지만

헤만턴은 두쌍의 상미분 방정식이다
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결론ㅡ 역시 쓰다보니까 현타가 온다. 왜 이런 가독성 씹망의

글을 썼냐면   특히 거시에서 왜 이렇게 동적 최적화 문제에

대한 설명이 경우에 따라 달라지나 궁금했기 때문이다.

내가  경제학과 박사 수업 청강했을때  앰뒤 교수가

얼버무린 기억이 난다

내 결론은 거시에선 구체적인 해보다 (균형상태 부근에서)

변수간의 관계를 추정하는게 중요하기 때문이다.

공학이나 금융공학의 경우 시간에 따른 통제변수의

궤적을 실제로 구하는게 중요하다 그런데 거시는 그런건 아무래도

상관없고 변수간의 관계가 관심사이다.

위에서 해밀턴은 밸만 방정식의 문제를 두  쌍의 상미분 방정식

의 문제로 쪼게서 푸는것이라 썻다.

역시  궁극적인 해는 같을 것이지만 편미방에 비해 해석이

가능한 근사

관계를 구하고 계량 모형으로 그 계수를 추정하는것은

상미분 방정식 체계가 유리하기 때문이다.

분야별로 관심사가 다르니 도구도 달라질 수 밖에.