어떤 ordered set S가 주어졌을때

1. 어떤원소가 주어졌을 때 그보다 큰 원소를 하나 찾는 방법이 주어져있고

2. 특정 조건 하에서 최대 원소의 존재성이 보장되어 있는 경우.


위 두가지 조건을 이용하는거랑 비슷한 방식의 증명이 분야 안가리고 자주 만날수 있는데

몇가지 예시를 들어보자면

존스램마를 통해 basis의 존재를 증명하는 것은 이미 유명하고

비슷한 방식으로 hausdorff maximal principle을 이용해 hahn-banach thm을 증명하는거도 그렇고

algebraic closure의 존재성이나

혹은 heine-borel thm의 여러 증명중 unit closed interval [0,1] 에서 시작하는 증명에서도 마찬가지 방법이,

아니면 arzela-ascoli thm에서도 함수열을 찾아가는 과정도 비슷하고

algebraic closure 위에서 행렬이 삼각화가 가능하다는걸 보일때 dim에 대한 귀납법을 이용한 증명이 있는데 거기서도 마찬가지 이고,

혹은 어떤 set이 cntd 혹은 path cntd임을 보일때도 흔히 보이는 방법인데,

eucludean에서 open cntd이면 path cntd임을 보일때도 비슷하게,

topologist' sine curve와 관련된 여러 성질들을 증명할때도 마찬가지,

covering space에서 uniquness of lifting을 보일때도,

그리고 hopf-rinov thm에서도 normal nbhd의 존재를 이용한 거의 비슷한 증명이 등장하고.

귀납법..? zorn's lemma..? maximal principle..?

아무튼 매번 사용되는 이런 argument를 부르는 일반적인 이름이 없다는게 조금 아쉽지만 아무튼.

핵심적인건 1번.

어떤 원소가 주어졌을 때, 그 다음 원소를 찾는 알고리즘이 존재하는가.

그런데 이때 알고리즘이 구성주의적이냐 비 구성주의적이냐, 한마디로 선택공리를 사용 하느냐 안 하느냐에 따라서 의미가 크게 달라지는데

구성주의적이라면 실제로도 어느정도 존재성이 보장 되어있는것이고. 그니까 공학이나 물리같은데서 바로 가져다 쓸수도 있을것이고.

예를들어 위에서 말한 normal nbhd같은경우엔 결국 미방 해의 존재성과 유일성 같은걸 써야할텐데, 그런데 picard iteration은 구성주의적인 증명이고 따라서 공학같은데서 바로 가져다 쓸수 있을정도로 실제 우리가 사는 세상에서 말이 되겠지

비구성주의적이라면 순수하게 수학적으로, 그것도 zfc내에서만 의미가 있는 증명..

예를들어 arzela-ascoli라던지..

그니까 개인적으론 귀납법이 아니라 귀납적 증명 과정중에 알게 모르게 사용한 선택공리 때문에 사기치는 느낌이 든다고 생각함