다들 알다싶이 허수는 제곱해서 -1이 나오는 수다

실제 세상에 존재하는 모든 수는 제곱하면 항상 양수이기 때문에

허수는 실존하지 않는 수이고 가상의 개념이다

그럼 이게 도대체 무슨 의미가 있길래 배우는 걸까?

지금부터 알아보자.

허수는 다양한 분야에서 유용하게 쓰이지만, 그 중에서도 가장 으뜸은

바로 전자전기공학에서의 활용이다.

아마 허수라는 개념이 없었다면 전자전기공학은 이렇게까지 발전하지 못 했을 수도 있다.

전자전기공학에서 허수가 어떻게 쓰이는지 알아보자.

때는 19세기 후반, 전기산업은 폭발적으로 성장하고 있었다.

유명한 일화인 에디슨과 테슬라의 교류 직류 논쟁은 다들 들어보았을 것이다.

산업과 실생활의 쓰임에 있어서 직류보다 교류가 압도적으로 우수했으나. 문제점이 존재했다

바로 계산이 너무너무 너무너무 너무 어려웠다는 것.

위의 회로처럼 저항(R) , 인덕터 (L) , 커패시터(C) 가 있는 회로를 RLC 회로라고 부르는데,

저항의 경우 교류나 직류나 똑같이 옴의법칙이 적용 되지만

인덕터와 커패시터는 교류전원의 주파수에 따라 변동하는 2계 미분방정식을 풀어야 한다.

공학수학을 공부 해 봤다면 알겠지만,

변수가 여러 개인 삼각함수를 미분하고 적분하고 하는 짓거리는 사람이 할 짓이 못된다.

거기다가 계수가 상수가 아닌 경우라면 정신이 아득해질 것이고 사람 손으로는 풀 수가 없다

이처럼 교류전기는 매우 유용했지만, 계산을 하는것이 너무나도 어려웠는데,

이를 단번에 타개하는 놀라운 방법이 등장한다.

영국의 물리학자인 올리버 헤비사이드는 복잡한 대수방정식을 푸는것이 너무나도 싫었다

그래서 기발한 방법을 생각해내는데

그것은 교류전원을 시간축에서 해석하는 것이 아닌 주파수 축에서 해석하는 것이었다.

바로 라플라스 변환을 이용한 페이저 해석법이다.

이를 이해하기 위해서는 오일러공식을 알아야 하는데

간단히 말하자면

실수 코사인성분과 허수 사인성분을 합하면

지수함수의 형태가 된다는 것이다.

자, 그럼 이게 실제로 무슨 의미를 가지는지 알아보자.

우리가 쓰는 전원은 복잡한 파동의 형태를 띄고 있는데,

이해를 돕기 위해 가장 간단한 형태로 나타내면 코사인 함수가 된다.

그런데, 이 코사인 함수를 그대로 가지고 와서

시간에 따른 함수로 표현해서 미분방정식을 풀려고 하니까

진짜 하기싫고 더럽게 지저분한 미분방정식이 튀어나오게 된다.

그런데 잠깐, 여기서

위에서 말했다 싶이, 코사인 함수의 형태를 띄는 전원에다가

허수 사인 함수를 더해주면 어떻게 될까?

"허수 전원을 어떻게 인가를 한다는거임? 허수라는건 현실에 존재하지 않는 개념인데"

그 말이 맞다.

실제로 전자전기공학도들이 페이저개념을 처음 배울 때

이 부분에서 큰 혼란을 느끼곤 하는데, 우선 나를 믿고 따라와보길 바란다

오일러 공식에 따르면, 코사인 함수에 허수 사인함수를 더하면 지수함수의 형태가 되므로

위와같은 형태가 된다.

위의 형태가 바로 우리가 구하려고 하는 함수를 시간축에서 주파수축으로 변환한것이다.

어떤가? 매우 깔끔하지 않은가?

위 지수함수는 아주 쉽게 미분하고 적분하고 지지고 볶고 할 수 있다

계산이 엄청나게 간편해진다

그럼 여기서 한 발 더 나아가

이 표를 한 번 살펴보자

우리가 구한 지수함수 형태는 세번째의 형태이다

저 세 가지는 모두 똑같은 말이다

복소평면 상에서 좌표값이 모두 같다. 다만 표기하는 방법이 다를 뿐이다

그림을 보면

x+jy (실수 + 허수) / 가로축이 실수, 세로축이 허수이다

r∠Φ (크기∠각도) / r이 원점에서 부터의 거리, Φ가 각도이다

세번째는 증명이 복잡하므로(사실 모름) 생략한다

아무튼, 우리는 더럽게 생긴 삼각함수를 지수함수의 꼴로 바꾸는데 성공했다

그래서 뭐 어쩌란 말인가? 저게 무슨 의미인데?

천천히 정리해보자

1. 계산하기 더러운 삼각함수를 편리하게 계산 할 방법을 찾다가

2. 오일러공식을 이용해서 허수전원을 인가했더니, 주파수 축으로 변환이 되고

3. 아주 예쁜 형태의 식으로 정리가 되었다

그런데 우리가 주목해야 할 것은, 허수전원이라는 것이다

허수전원은 대수적인 연산을 아무리 해도 실수부와 섞일 수 없다.

그리고 하나 더, 주파수 축으로 변환이 되었다는 것이다.

위의 지수함수 꼴 형태의 식을 복소평면의 형태로 바꾸면

x + jy 형태가 되는데, x 가 실수부, y가 허수부이다

그런데 우리가 구하고자 하는 것은 실수 전원이기에

계산 다하고 y성분 날려버리면 된다.

자, 앞에서 우리가 RLC 회로를 계산할때 코사인 사인을 넣어서 2계 미분방정식을 풀어야 했는데

페이저 변환을 하니 갑자기 x랑 y만 나온다.

그리고 나중에 허수 날려버리면 끝

올리버 헤비사이드는 이점에 주목했다

"저기 학회 여러분, 제가 이렇게 변환해서 간단하게 만들어 봤는데, 이거 나온거 그대로 갖고 직류처럼 계산하니까 답 똑같은데요?"

그렇다.

저렇게 나온 결과값을 가지고

이제 교류전원으로서 미분방정식을 풀지 않고

직류전원처럼 그냥 덧셈뺄셈을 한 뒤,

다시 시간축으로 역변환을 하니까

계산값이 복잡한 미분방정식을 풀어서 나온 결과값과 같았다

"와 좆되네요. 증명도 좀 알려주세요"

"증명? 그건 모르겠고 그냥 되던데?"

"시발 장난하나 증명도 못하면서 쳐갖고온거임?"

"어쩌라고 넌 밥먹고 똥싸는 과정 다 이해하고 밥먹냐?" (실제로 한 말)

후대의 과학자들과 수학자들은 이 이론을 심도깊게 연구하여

라플라스 변환과 푸리에 변환으로 정리된다.

요약

1. 교류 전원 계산 좆같음

2. 허수전원을 인가한다고 치고 계산해보니 계산 존나쉬움

3. 지도 증명은 못함

출처 : Fundamentals of Electric Circuits 7th