골드바흐 추측이란? 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

ex) 100 = 3+97

1000 = 3+997

84 = 37+47

... 과 같이

모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

그리고 이 골드바흐 추측과 동치명제를 하나 발견했는데,

임의의 짝수를 두 소수로 나타낼 수 있다면, 모든 자연수는 그 자연수에 대응되는 소수 쌍이 존재한다. 무슨소리냐?

모든 짝수는 2n으로 표현가능하다. 2n을 두 소수 p+q로 나타낼 때

이 두 소수와, 2n을 2로 나눈 n의 차이의 절댓값은 항상 일정하다.

일례로 위 예시에서

100을 2로 나누면 50이고

50과 3의 차이는 47, 50과 97의 차이 또한 47

-> 즉, 50과 동일한 거리만큼 떨어져 있는 소수 쌍 (3과 97) 이 존재함을 알 수 있다!

1000을 2로 나눈 500에서도 500과 3, 500과 997의 차이는 동일

84를 2로 나누면 42

42와 37의 차이 5, 42와 47의 차이 5

6은 그럼머냐?? 할 수 있는데

6을 2로 나누면 3이다. 3은 소수다.

3과 0만큼 떨어진 소수는 3이다. 즉

(3+0) + (3-0) = 6 으로 이번에도 소수 쌍이 존재한다. 0만큼 떨어져있는것도 얘 스스로가 소수이니 해당.

이걸 어케증명하냐고? ㅈㄴ간단함

모든 짝수는 2n으로 나타낼 수 있고 2n을 2로 나누면 n임

2n = p+q 일 때, (단, q>=p) 2n을 우변으로 넘겨서 조작하면

p-n + q-n = 0 이다. p-n =<0 일 것이므로

q-n = n-p (= n과 두 소수 p,q가 떨어진 거리 동일)

깔쌈하죠?

이 모든 자연수에 대한 소수 쌍이 존재한다는 동치명제를 이용해,

명제를 부정하는 귀류법으로 논리를 전개했을 때 동치명제가 틀렸다는 모순이 발생함

따라서 동치명제는 참이다. 따라서 골드바흐 추측 또한 참이다.