2차원 돌림힘 - 기하 문제로 바꿔 풀기

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개설일

2020-12-14

[일반] 2차원 돌림힘 - 기하 문제로 바꿔 풀기앱에서 작성

ㅇㅇ 2022.12.30 14:47:58

조회 388 추천 1 댓글 0

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2차원 돌림힘이 나올 확률은 적긴한데 그래도 써봄

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기본정리) 정적 평형 상태에서는 어느곳을 회전축으로 잡아도 알짜 토크는 0이다.

일단 위 내용 증명

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시그마 기호는 생략했고 cross product를 사용하기 때문에 증명은 굳이 알필요 x.

바로 예시로 설명해주면.

그림과 같이 바닥과 마찰이 없는 벽 사이에 밀도가 균일하고 질량이 m인 막대가 기대어 있다.

막대에 작용하는 힘의 크기를 각각 구하시오.

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(문제 출처 : David morin - Introduction to classical mechanics with problem and solutions)

위에서 증명한 내용에 따르면, 어느 곳을 축으로 잡아도 돌림힘의 합이 0이다.

mg벡터와 N벡터를 연장해보면

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(문제에선 마찰력을 F라 했는데 편의상 마찰력을 f라 하고 수직항력과 마찰력의 합력을 F라고 했다.)

그럼 당연히 저 교점을 축으로 잡아도 토크 평형을 이루어야한다.

그런데 저 축에 대한 mg와 N이 만드는 토크는 0

따라서 F가 만드는 토크도 0, 즉 F도 연장하면 저 교점을 지나야한다.

바꿔 말하면 2, 3차원에서 물체가 정적 평형을 이루고 있으면, 물체에 작용하는 힘들을 연장하면 항상 한점에서 만난다.

이제부턴 그저 기하문제

힘 F가 수평면과 이루는 각도를 β라 하면

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다른 예시로는

그림과 같이 반지름이 R인 원통과 반지름이 r인 원통이 붙어있다.

실로 수평면과 θ의 각도로 적당한 힘을 주었을 때, 이 물체가 정적 평형 상태이기 위한 cosθ의 값은?

(단, 원통은 균일하며 실의 질량은 무시한다.)

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(문제 출처 : David morin - Introduction to classical mechanics with problem and solutions)

이것도 중력 mg, 바닥이 물체에 작용하는 힘 F(= N + f)를 연장하면

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따라서 T를 연장하면 저 교점을 지나야하고

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이렇게 간단하게 풀 수 있다.

약간 복잡한 연습문제 하나 풀면서 익혀봐

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