포물선 - 중력끄기의 응용 (속도 벡터와 비율관계)

ㅇㅇ · 2022.12.30 14:48:31

중력끄기가 무엇인지 알고있다는 가정 하에 작성한 글입니다.

중력끄기가 무엇인지 모르는 분들은 아래 링크의 글을 먼저 읽고 오시기 바랍니다.

https://m.dcinside.com/board/physics2/8965

• 속도 벡터 기초

그림과 같이 속도 v_i로 발사한 물체가 속도 v_f로 수평면에 도달하는 포물선 운동을 생각해보자

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이 속도만 따로 떼와서 그려보자

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아래 그림과 같이 두 벡터의 종점을 이은 벡터는 v_f - v_i = Δv와 같고, 등가속도 운동 공식에 의해 이 벡터는 gt와 같다.

이로부터 v_i와 v_f의 x좌표가 같다는 것을 알 수 있다.

7eed8576b38668f237e982e741827264d67f0407b127a830da4cec434fdd297e

이제 평균 속도를 생각해보자

등가속도 운동에서 평균 속도 v_avg는 초기 속도과 나중 속도의 평균이므로

v_avg = (v_i + v_f)/2 = (2v_i + Δv)/2 = v_i + 0.5Δv

로 표현할 수 있다.

이를 위 벡터 그림에 나타내보면

7eed8576b38668f237e982e74182736c3c918fbc18140bebeda83eaf328f1489

와 같다.

이것만 보면 별거 아닌것 같지만 실제로 별거 아니다

그런데 이것만 알아도 기출 절반이상은 슥슥 풀린다

이제 기출문제에 적용해보자

160620

7eed8576b38668f237e982e74182736e4098c2bda9a77c777ff681140991d0

처음 속도와 수평면이 이루는 각은 60°이고,

나중 속도와 수평면이 이루는 각은 30°이다.

이를 위 속도 벡터 그림으로 나타내면

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와 같다. (빨간선은 수평면에 평행한 보조선)

빨간선과 Δv가 만나는 점부터 v_f의 종점까지의 거리를 a라 잡고 삼각비를 쓰면 아래와 같이 길이들을 구할 수 있다.

7eed8576b38668f237e982e74182736a151e7b5bb1492825a3d53eb7df6c

즉, 평균 속도가 수평면과 이루는 각은 30°이다.

평균 속도의 방향과 평균 변위 벡터의 방향은 같으므로 각 RPQ는 30°임을 알 수 있다.

7eed8576b38668f237e982e741827364220a77b80e721beedd081bdd9b91d3

따라서 답은 2번이다.

200618

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A, B는 동일 시간, 동일 변위 이동이므로 둘의 평균 속도는 같고, 수평면과 45°를 이룬다.

또 B의 나중 속도는 0이다.

이를 이용하여 속도 벡터를 그리면

7eed8576b38668f237e982e741827c6e0f2ab37234863c530c19fd2ddbce

검은선 : B

파란선 : A

빨간선 : 수평면

A와 B의 가속도 비는 sqrt(2) : 1, 이동 시간은 같으므로

Δv의 비도 sqrt(2) : 1이다.

따라서 길이의 비가 아래와 같이 표현된다.

7eed8576b38668f237e982e741827c68b5af9c007cca19d3a71eb27175d8

따라서 답은 5번이다.

210920

7eed8576b38668f237e982e741827c6aeeb0b8768e2bb0e44fc09a8442d1fb

A, B 나중 속도의 크기가 같고, 서로 수직이다.

속도 벡터를 그려보면

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이동시간이 같으므로 A, B의 속도 변화량이 같다.

따라서 두 Δv의 길이가 같고 평행하므로 아래와 같이 보조선을 그었을 때 나오는 사각형은 평행사변형이다.

7eed8576b38668f237e982e741827d6c0cc8a3d836623547c5380aea616299

ㄱ. 시점에서 Δv에 수선을 내렸을 때 나오는 두 직각삼각형은 서로 합동이므로 맞는 선지이다.

ㄴ. 사인 법칙에 의해 아래와 같은 식이 성립한다.

7eed8576b38668f237e982e741827d6e08d0e3eaece2da7943f580588def

tan 75°는 아래와 같이 계산 없이 구할 수 있다.

7eed8576b38668f237e982e741827d6874e2d034db0a076b1dbd5b1e6911

따라서 ㄴ은 맞는 선지이다.

ㄷ. 사인 법칙에 의해

0.5m(v_1² + v_2²)

= 0.5mv²(sin² 15° + cos² 15°)/(sin² 60°)

= 2mv²/3

따라서 답은 ㄱ, ㄴ, ㄷ으로 5번이다.

이 외에도 적용할 수 있는 기출, 사설들은 많으니 한번씩 연습 해보는것도 좋다.

• 속도 벡터 심화 (얘는 건너 뛰어도 상관없다)

- 중력끄기와 속도 벡터의 관계

처음으로 돌아가서, 이번엔 중력끄기를 적용해보자

7eed8576b38668f237e982e741827d6abdde01347c8dcc7524256035c12c

또한 역투사를 하고 중력끄기를 적용해보면 다음과 같다

7eed8576b38668f237e982e741827d64d2ef4188c09eff7752e8acc0e69e

이제 벡터들을 모아보면

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각각의 속도 벡터에 t만큼 곱한 결과가 나온다.

즉, 두 풀이는 동일하다.

- 속도 벡터의 내적과 외적

예제 1) 그림과 같이 높이 h인 탑에서 v_i의 속력으로 물체를 던졌다.

수평 도달 거리 d의 값이 최대가 되는 tan θ의 값은 얼마인가?

7eed8576b38668f237e982e74185746ebade43d403be5b6a634913ebb2bca9

Δv = gt이므로, 아래의 식이 성립한다.

7eed8576b38668f237e982e741857468b22e4407a5d83d6ed542669a2d99

또한 (v_avg)t = r이므로, 아래의 식이 성립한다.

7eed8576b38668f237e982e74185746a3a50d48a53be1c726be57de0c494

위 두 식을 내적하면 다음과 같다.

7eed8576b38668f237e982e7418574649c0cdc7ce5eb3b59ef76dd2199cf

이는 에너지 보존 법칙과 동일하다.

이번에는 위 두 식을 외적(두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 크기가 같다) 하면 다음과 같다.

7eed8576b38668f237e982e74185756cee13b70cb12250ff444b3ce1b446

내적한 결과를 이용하여 v_i에 대해 정리하였다.

d가 최댓값을 갖기 위해선 sin γ = 1이어야 한다.

즉, 두 속도 벡터가 이루는 각이 90°여야 한다.

따라서 tan θ = v_i/v_f = v_i/sqrt(v_i² + 2gh)이다.

정리하면

1) v_i와 v_f의 내적은 에너지 보존 법칙과 같다.

2) v_i와 v_f가 만드는 평행사변형의 넓이는 (수평 도달 거리) × g와 같다.

• 중력끄기 비율관계

(그림 그려주신 카가미쿠로님과 Olfas님께 감사드립니다.)

수평면에 대해 어떠한 각도 θ로 물체를 던졌을 때, 다음과 같은 길이비가 성립한다.

7eed8576b38668f237e982e74185756e556bfb2527a312b884d7cd862dc17d

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증명) 중력에 의한 변위 0.5gt²은 시간의 제곱에 비례함과 삼각형의 닮음을 이용한다.

만약 발사각 θ = 60° 인 특수한 경우, 다음과 같은 비율관계가 성립한다.

7eed8576b38668f237e982e74185756b9a41dc3e4bb15add1e96dd6881fd03

이를 외워두면 위에서 풀었던 160620을 중간과정 없이

바로 각 RPQ는 30°임을 알 수 있다.

증명은 160620과 유사하므로 그림만 남기겠다.

7eed8576b38668f237e982e741857565d858e8ad51101239d65de6e2397105

이제 기출문제에 적용해보자

190917

7eed8576b38668f237e982e74185766d4ec944af0c1998bfa6e08e4279926f

동일 속력으로 도달이라는 조건이 주어졌으므로

역투사를 한 뒤 중력끄기를 사용하면

7eed8576b38668f237e982e74185766fd8c62bb01a365d98c1fff823184f01

A, B의 운동시간이 같으므로 중력에 의한 변위의 길이는 같고,

A의 최고점 높이가 h이므로 중력에 의한 변위의 길이 또한 h이다.

또한 A, B의 역투사 속력이 같으므로 역투사에 의한 변위의 길이도 같다.

피타고라스 정리에 의해

(3h)² + (R)² = (2h)² + (2R)²

따라서 답은 4번이다.

예제가 훨씬 많았는데 이미지 개수 제한때문에 여기까지 밖에 못씀

다른 예제들은 아래 링크 눌러서 ㄱ.ㄱ

https://m.dcinside.com/board/physics2/28900

근데 사실 211220처럼 나오면 속벡이고 뭐고 답이 없음ㅋ.ㅋ

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