0.999...가 0뒤에 9가 무한개 있다는 건 실무한 개념이다...
근데도 아직도 9가 계속해서 늘어나는거로 착각하는 사람들이 있다...

그래서 0.999...1 이란 표현을 쓸 수 있다는데...
이건 옳은 표현이라 할 수 없다...
0과 1사이에 9가 무한히 존재한다란 건데...
언젠지 모르지만 9가 1로 변할때가 있다라는 것이고
그건 그 순간 9가 무한한개 아니게되며...
1이 생김과 동시에 9가 무한에 가깝게 많을지는 모르지만 유한하다란 것이다...

그러니 0.999...111... 이런 표현도 의미가 없으며
0.999...3141592...등의 9가 무한히 존재하는데 그 뒤에 파이의 숫자가 오더라도
그건 의미가 없고 틀린 표현이다...

단지 무한집합의 표현으로
0.999...9 같은 느낌이 나기는 한다...
밑에서 무한을 유한으로 바꾼다 했는데
인간의 한계성이 거기서 나타난다는건 맞는 말이다...
{9,9,...} 이렇게 무한집합을 표현한거나
{9,9,...,9} 이렇게 무한집합을 표현한거나 같은거다...
위의 것은 기하학적으로는 0에서 무한대까지의 직선에 대한 무한개의 점들을 의미하고
아래 것은 0에서 1까지의 선분에 대한 무한개의 점들을 의미한다...
그러나 {9,9,...,1} 이런 표현은 무한집합이지만, 9가 무한개 있고 1이 한개있는 무한집합이고
요소의 갯수는 무한개이다...
마찬가지로 {9,9,...,9,1}도 {9,9,...,3,1,4,1,5,9,2,...}도 무한집합이나 갯수는 무한개이다...
그런데 {9,9,...,1}도 {9,9,...,9,1}도 {9,9,...,3,1,4,1,5,9,2,...}도
이들 집합의 요소를 0뒤의 소숫점이하 숫자의 집합으로 나타낸 실수로 나타낼 수 없고
반복되는 구간이 있어야만 실수로 나타낼 수 있는 것이다...
유리수인 경우에는 {{3,4,1},{3,4,1},...} 같은 무한집합의 요소를 이용하여 숫자를 나타낼 수 있고
그건 0.341...이라고 하고 3과 1사이에 점을 찍는다...

0.999...가 뒤에 9가 계속 붙은것이 아니라는 설명을 위해서
1-0.999...를 빼면
0.000...이 생긴다...
9가 무한개니까 0도 무한개이다...
위에서 설명했듯이 0.000...1 이란 표현은 없다...0이 1로 변하는 순간 유한이 되기 때문이다...
그러니까 이건 0.0땡이다...그니까 이건 0.000...이고 이건 그냥 0이다...

실수를 소수로 표현하는 방법이 하나라고 알고 있는 사람들에게는 받아들이기 어려울지 모르나
실수를 분수로 표시하는 방법에 여러가지 있다는 걸 보면...유리수로 1이 2/2,3/3,135/135등등
1도 사실은 1.000...과 0.999...로 표시할 수 있다는 걸 알 수 있을 것이다...
1.000...을 줄여서 1이라고 쓰는 것 뿐이다...

제논의 화살을 보통 반씩 나가는 걸로 예상해서 1/2의 등비급수로 표현하는데...
이걸 1/2점을 지나고 1/3점을 지나고 1/4점을 지나고...로 생각해보자...
길이가 1인 선분이 있다...
그럼 1/2인 지점까지의 길이는 1/2이다...이건 1-1/2이다...
1/2에서 1/3까지의 길이는 1/2-1/3이다...
1/3에서 1/4까지의 길이는 1/3-1/4이다...
선분의 길이인 1은 이들 지점의 합이다...
즉 1/2까지의 길이 + (1/2에서1/3까지의 길이) + (1/3에서 1/4까지의 길이) + ....
이건 위의 우변값으로 정리하면
(1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3 - 1/4) + .... 가 된다...
이걸 수열의 식으로 나타내면...
(1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3 - 1/4) + ....(1/n - 1/(n+1))이 된다...
이걸 n을 무한대까지 가게 한거라고 생각해보자...
근데 이 식을 잘보면 중간에 있는 건 다 지워지고
1 - 1/(n+1)만 남는다는 걸 알 수 있다...
여기에 리미트 n이 무한대라면 이건 1이다...
근데 1/(무한대+1)이 무한소라 0이 아니라고 우기면
1 - 무한소 = 1 이 되기 때문에 이상하고
1- 무한소 = 0.999... 같은 느낌이 나게 될거다...
그러나 0.999...는 위에 보였듯이 9가 무한개 있고...
무한소가 들어갈 자리가 없다...
1 - 무한소 = 리미트 x-> 1 x 라면 맞는 말이지만...
이건 무한소는 극한의 개념이란것이고 이게 가무한의 개념이란 설명을 하고 싶다...

누누히 말해오지만 0.999...와 리미트 x->1 x는 같지 않다...

1/3은 수인데 0.333...은 수가 아닌거 처럼 이야기 하는거도 틀렸다고 증명되어 있다...
다시 말해서 1/3 - 0.333... = 0 이다...

좀 더 고차원적인 표기법으로는 수학에서 벌써 발전해 있는데
...999.999... 이란 표현법도 생각해놨다...
즉 0뒤에만 9가 무한개 있는게 아니라
앞에도 9가 무한개 있는 것도 생각할 수 있는 것이고...
p진수란건데 이거도 재미있다...

더욱 더 여러 표현방법으로는
balanced ternary system과 factoradic system등이 있고
Marko Petkovšek은 어떤 표현법으로도 실수는 조밀하단걸 증명했단다...

0.999...에 대해서는 1836년의 미디가 증면한 Midy's Theorem라든지 W. G. Leavitt가 증명한게 있다...

군론과 비슷한 개념으로 발전한 modular arithmetic이라즌지 군의 위상이라든지 quadratic reciprocity의 개념에
0.999...의 개념등이 들어가 있다란다...

실해석으로 칸토어의 the middle-thirds Cantor set은 무지 유명하고...

이것도 프랙탈이론에 발전할 계기를 준것으로 유명하다...칸토어집합이라고도 부른다...

<EM>The Straight Dope</EM>  2003년 판에는
1/3을 0.333...이 다가간다고 설명하거나 3을 곱해서 0.999...도 1에 다가가는 양 설명했는데
이런 교육방법은 틀렸다라고 했다...

아래에도 달았지만 참고문헌 이렇게 많으니...일어말고 참고문헌이라도 참고해보길...
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...