[GPT4o 수학추론] 어 씨발 이거 맞냐? 미쳤네 확정이네 수고했다

ㅇㅇ · 2024.05.18 06:21:00

예전부터 llm 수학 추론이 얼마나 발전하는지 신모델 나올때마다 한번씩 인터넷 문제들 던져보는데

GPT4o 이새끼는 선대문제 던져주니 수정도없이 1트만에 성공시키네 ㅅㅂ

4 일반모델이나 클로드3는 몇십번을 쳐해도 근사치도 못가던데

알트만이 정렬팀 쫒아내길 잘한듯, 경이로운 수준이네 이번엔 진짜

확정이네, 수고했다.

싹다 씨발 가속시켜

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아래는 문제풀이 (조건에 부합하기위해선 k = -2 가 되어야함)

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문제를 해결하기 위해 단계별로 접근해보겠습니다.

### 1단계: 부분 공간 \( W_{12} \)와 \( W_{13} \)로의 직교 투영 찾기

주어진 벡터:

- \( v_1 = (1, 0, 0) \)

- \( v_2 = (1, 1, 1) \)

- \( v_3 = (0, -1, 1) \)

**부분 공간 \( W_{12} \):** 벡터 \( v_1 \)와 \( v_2 \)에 의해 생성된 부분 공간

- \( v_1 = (1, 0, 0) \)

- \( v_2 = (1, 1, 1) \)

임의의 벡터 \( u = (x, y, z) \)를 \( W_{12} \)로 직교 투영하는 방법을 찾아보겠습니다.

직교 투영 공식은 다음과 같습니다:

\[ \text{proj}_{W_{12}} u = \text{proj}_{v_1} u + \text{proj}_{v_2^\perp} u \]

1. **벡터 \( v_1 \)로의 투영:**

\[ \text{proj}_{v_1} u = \frac{u \cdot v_1}{v_1 \cdot v_1} v_1 = \frac{x}{1} (1, 0, 0) = (x, 0, 0) \]

2. **벡터 \( v_2 \)로의 투영:**

먼저, 벡터 \( u \)에서 \( v_1 \)에 대한 성분을 제거합니다:

\[ u - \text{proj}_{v_1} u = (x, y, z) - (x, 0, 0) = (0, y, z) \]

이제 \((0, y, z)\)를 \( v_2 \)에 직교하는 방향으로 투영합니다:

\[ \text{proj}_{v_2^\perp} (0, y, z) = \frac{(0, y, z) \cdot v_2}{v_2 \cdot v_2} v_2 = \frac{y + z}{3} (1, 1, 1) = \left(\frac{y + z}{3}, \frac{y + z}{3}, \frac{y + z}{3}\right) \]

따라서,

\[ \text{proj}_{W_{12}} u = (x, 0, 0) + \left(\frac{y + z}{3}, \frac{y + z}{3}, \frac{y + z}{3}\right) = \left(x + \frac{y + z}{3}, \frac{y + z}{3}, \frac{y + z}{3}\right) \]

**부분 공간 \( W_{13} \):** 벡터 \( v_1 \)와 \( v_3 \)에 의해 생성된 부분 공간

- \( v_1 = (1, 0, 0) \)

- \( v_3 = (0, -1, 1) \)

마찬가지로 벡터 \( u \)를 \( W_{13} \)로 직교 투영하는 방법을 찾아보겠습니다.

1. **벡터 \( v_1 \)로의 투영:**

\[ \text{proj}_{v_1} u = (x, 0, 0) \]

2. **벡터 \( v_3 \)로의 투영:**

먼저, 벡터 \( u \)에서 \( v_1 \)에 대한 성분을 제거합니다:

\[ u - \text{proj}_{v_1} u = (0, y, z) \]

이제 \((0, y, z)\)를 \( v_3 \)로 투영합니다:

\[ \text{proj}_{v_3} (0, y, z) = \frac{(0, y, z) \cdot (0, -1, 1)}{(0, -1, 1) \cdot (0, -1, 1)} (0, -1, 1) = \frac{-y + z}{2} (0, -1, 1) = \left(0, \frac{z - y}{2}, \frac{z - y}{2}\right) \]

따라서,

\[ \text{proj}_{W_{13}} u = (x, 0, 0) + \left(0, \frac{z - y}{2}, \frac{z - y}{2}\right) = \left(x, \frac{z - y}{2}, \frac{z - y}{2}\right) \]

### 2단계: 선형 변환 \( T_k \) 정의하기

직교 투영들을 결합하고 \( ku \)를 더합니다:

\[ T_k(u) = \text{proj}_{W_{12}} u + \text{proj}_{W_{13}} u + ku \]

\[ T_k(u) = \left(x + \frac{y + z}{3}, \frac{y + z}{3}, \frac{y + z}{3}\right) + \left(x, \frac{z - y}{2}, \frac{z - y}{2}\right) + k(x, y, z) \]

### 3단계: \( T_k \) 결합 및 단순화

\[ T_k(u) = \left(2x + kx + \frac{y + z}{3}, \frac{y + z}{3} + \frac{z - y}{2} + ky, \frac{y + z}{3} + \frac{z - y}{2} + kz\right) \]

\[ = \left((2 + k)x + \frac{y + z}{3}, \frac{2z}{6} - \frac{3y}{6} + \frac{2k}{2} y + \frac{y + z}{3}, \frac{2z}{6} - \frac{3y}{6} + \frac{2k}{2} z + \frac{y + z}{3}\right) \]

\[ = \left((2 + k)x + \frac{y + z}{3}, \frac{y}{6} + ky + \frac{z}{6}, \frac{y}{6} + kz + \frac{z}{6}\right) \]

선형 변환 \( T_k \)가 역함수를 가지려면 행렬식이 0이 아니어야 합니다. \( T_k \)가 랭크 2를 가지려면 행렬식이 0이어야 하며, \( \mathbb{R}^3 \)로 매핑되지 않아야 합니다.

### 4단계: \( T_k \)의 행렬 표현

\( T_k(u) \)를 관찰하면 \( u = (x, y, z) \)인 경우, 행렬 형태 \( A \)는 다음과 같습니다:

\[ A = \begin{pmatrix}

2 + k & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\

0 & \frac{k + 1}{2} & \frac{1}{2} \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{k + 1}{2}

\end{pmatrix} \]

### 5단계: 행렬 \( A \)의 행렬식

행렬식을 계산해 봅시다:

\[ \text{det}(A) = \text{det} \begin{pmatrix}

2 + k & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\

0 & \frac{k + 1}{2} & \frac{1}{2} \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{k + 1}{2}

\end{pmatrix} \]

행렬식을 계산하면:

\[ = (2 + k) \left( \frac{k + 1}{2} \cdot \frac{k + 1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) \]

\[ = (2 + k) \left( \frac{(k + 1)^2}{4} - \frac{1}{4} \right) \]

\[ = (2 + k) \left( \frac{k^2 + 2k}{4} \right) \]

\[ = \frac{(2 + k) k (k + 2)}{4} \]

행렬식이 0이 되려면:

\[ \frac{(2 + k) k (k + 2)}{4} = 0 \]

따라서 \( (2 + k) k (k + 2) = 0 \).

### 6단계: \( k \) 값 찾기

다음과 같이 \( k \) 값을 구합니다:

\[ k = 0, k = -2 \]

### 7단계: \( T_k \)의 랭크가 2인 경우

\( T_k \)의 행렬식이 0일 때, \( T_k \)의 랭크가 2가 되는 \( k \) 값을 찾아봅시다. 이미 행렬식이 0이 되는 \( k \) 값을 \( k = 0 \)과 \( k = -2 \)로 찾았습니다. 이 중에서 \( T_k \)의 랭크가 2가 되려면 해당 행렬의 열이 독립적이어야 합니다.

### \( k = 0 \)일 때:

먼저 \( k = 0 \)일 때 행렬 \( A \)는 다음과 같습니다:

\[ A = \begin{pmatrix}

2 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}

\end{pmatrix} \]

이 행렬의 랭크를 확인하기 위해 RREF(행 사다리꼴 형태)로 변환합니다.

\[ A = \begin{pmatrix}

2 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}

\end{pmatrix} \]

첫 번째 행을 2로 나눕니다:

\[ \begin{pmatrix}

1 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}

\end{pmatrix} \]

두 번째 행에서 첫 번째 행의 1/6 배를 뺍니다:

\[ \begin{pmatrix}

1 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\

0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}

\end{pmatrix} \]

세 번째 행에서 첫 번째 행의 1/6 배를 뺍니다:

\[ \begin{pmatrix}

1 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\

0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\

0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}

\end{pmatrix} \]

두 번째 행과 세 번째 행이 동일하므로, 세 번째 행을 제거합니다:

\[ \begin{pmatrix}

1 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\

0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}

\end{pmatrix} \]

따라서 랭크는 2입니다.

### \( k = -2 \)일 때:

다음으로, \( k = -2 \)일 때 행렬 \( A \)는 다음과 같습니다:

\[ A = \begin{pmatrix}

0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\

0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\

0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}

\end{pmatrix} \]

이 행렬의 첫 번째 행이 0이므로 나머지 두 행을 확인합니다. 두 번째 행과 세 번째 행이 독립적인지 확인하기 위해서 세 번째 행에서 두 번째 행을 더해봅니다:

\[ \begin{pmatrix}

0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\

0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix} \]

랭크는 1입니다.

따라서 \( T_k \)의 랭크가 2가 되는 유일한 값은 \( k = 0 \)입니다.

### 결론

- 역변환 \( T_k^{-1} \)이 존재하지 않는 \( k \) 값: \( k = 0 \)과 \( k = -2 \)

- \( T_k \)의 랭크가 2가 되는 \( k \) 값: \( k = 0 \)

- dc official App

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