1] f(x)=px^3+qx (단,p,q는 실수)라 하자. (0,r)에서 곡선 f(x)에 그은 접선이 오직 하나 존재하는데, 접점의 x좌표를 구하는 공식은

-2p(t^3)=r이다.

따라서 p=1이고 t=-2일 때, (t,f(t))에서 그은 접선의 y절편은 16이다.

2] (x)=px^3+qx (단,p,q는 실수)라 하자. 변곡점에서 그은 접선을 y=g(x)라 할 때, (r,g(r))에서 f(x)에 그은 변곡점을 지나지 않는 접선이 오직 하나 존재하는데, 접점의 x좌를 t라 하면,

2t+3r이 성립한다.

따라서 (2,0)에서 y=x^3에 그은 접선의 x좌표는 3이다.

이것 말고도 도함수의 변곡점에서의 기울기가 음수인 사차함수에 대하여, 함수 위의 서로 다른 두 점에 동시에 접하는 직선이 오직 하나 존재하는데, 접하는 두 점의 x좌표를 사차함수의 계수만으로 표현이 가능하다. 

x=-b/4a +root(3b^2-8ac)/4a 와 -b/4a -root(3b^2-8ac)/4a

 이계도함수의 두 근의 꼭짓점으로부터의 거리에 root(3)을 곱하여 얻을 수 있다.

공익이라 할 거 없어도 이딴 짓이나 하고 있었음