최근에 가장 중점적으로 다뤘던 각도 문제에 대한 주제를 드디어 마무리 지을려고 해.

PART I. 일반적인 방법들

앞서 올린 문제들을 통해서 각도 문제를 푸는데 쓰이는 몇 가지 방법을 소개했음.

꼬깔콘: 등변사다리꼴 만들기, 외심 잡기

정오각형, 딱지치기: 동일법 (귀류법)

납작만두 I: 합동 (회전)의 아이디어

납작만두 II: 공원점 잡기 (내심 잡는 풀이는 이 글 참고)

(5), (6)은 확실히 다른 방법들보단 덜 쓰이긴 함.

등각켤레점에 대해서 관련된 글을 쓴 적은 없지만 더 좁은 범위의 개념 (대칭중선과 르무안점)을 소개한 적은 있었어.

주어진 점과 삼각형의 꼭짓점을 잇는 직선들을 삼각형의 각 내각의 이등분선에 대해

대칭시킨 직선 (등각켤레선)들의 교점을 등각켤레점 (isogonal conjugate)이라고 불러.

세 등각켤레선이 한 점에서 만나는 성질은 각체바 정리와 그 역을 이용해서 증명할 수 있어.

또한 내심, 방심과 비슷하게 두 등각켤레선의 교점을 나머지 꼭짓점과 연결한 직선은 그 꼭짓점에 대한 등각켤레선이 돼.

등각켤레점 자체는 각도 문제를 푸는데 있어서 잘 쓰이는 편은 아니지만

다음 파트에서 다시 등장하니 기억하고 넘어가자.

PART II. 동치인 문제로의 변형

* 참고문헌: (J. F. Rigby, 1980) Multiple Intersections of Diagonals of Regular Polygons, and Related Topics

이제부터 다룰 주제는 제목에도 써놨듯 우연한 사각형 문제 (adventitious quadrangle problem)야.

말 그대로 TMI이기 때문에 지금부터 다루는 내용은 문제 풀이와 관련된 실용적인 정보보다는 학문적인 내용에 가까워.

하지만 너무 깊게 다루지는 않을거고, 이런게 있다 정도로만 이해하고 넘어갈거야.

온갖 종류의 '각도 구하기' 문제들을 랭글리 문제로 통칭해서 부르는 경향이 있는데,

'랭글리의 우연한 각도 문제'에 대한 일반화라고 하면

* 위의 꼴에 대해서,

* 사각형 (혹은 삼각형)의 모든 내각이 유리수 각도로 표현되는 경우

를 얘기하는거라고 생각하면 돼.

참고로, i)과 ii)는 서로 변형되어질 수 있는 형태라는 사실을 곧 알게 될거야.

(a, b, c, d)가 주어지면 e는 하나로 결정된다는 사실을 직관적으로는 쉽게 알 수 있는데, 구하는 과정은 결코 자명하지 않아.

아래 그림을 보면 그 이유가 더 명확해져.

예전에 올라왔던 문제의 각도로부터 출발하자.

각도들은 전부 10의 배수이기 때문에, 정18각형 (한 칸당 원주각이 10도)의 꼭짓점들과 대각선들을 생각해볼 수 있어.

하지만 오른쪽 그림은 결코 자명하지 않은데,

이 세 대각선이 한 점에서 '우연히' 만났기 때문에 모든 내각이 10의 배수 각도로 표현될 수 있는거라고 보면 돼.

(가끔 '랭글리의 이상한 각도'로 번역하는 경우가 있는데, 이 용어는 문제의 의미를 제대로 전달하지 못한다고 생각함)

즉, 이 문제는 결국 정다각형의 세 대각선이 한 점에서 만나는 경우를 찾는 문제라고 볼 수 있어.

아래 그림은 '동치 문제'들을 만드는 과정이라고 생각하면 돼.

즉, 이 중 하나의 경우에 대해서만 세 대각선이 만나는걸 증명하면 (혹은 일반적인 방법으로 각도 문제를 풀면),

다른 문제들은 추가 증명 없이 정18각형의 대각선들이 이루는 원주각으로 쉽게 답을 얻어낼 수 있다는 뜻이야.

아래 그림을 통해 몇 가지 알 수 있는 사실은...

* 세 꼭짓점을 택해 삼각형을 만들었을 때, 세 대각선의 교점이 삼각형의 외부에 위치하면 i)과 같은 그림이 되고, 내부에 위치하면 ii)와 같은 그림이 된다.

* 등각켤레점을 이용하여 다른 종류의 대각선 순서쌍을 만들 수 있다.

* 세 대각선 중 두 개의 길이가 같을 때, 대각선 중 하나를 지름으로 치환하여 다른 종류의 사각형 (혹은 삼각형)을 만들 수 있다.

* 세 대각선의 공통 교점 두 개를 이용해서 사각형을 만들 수도 있다.

위의 (a) ~ (f)를 각도와 함께 표시하면 다음과 같아.

* (c): 이 문제와 등각켤레 관계.

* (e): 이 문제와 동일.

* (f): 오리지널 '랭글리의 우연한 각도 문제'

Part III. 3외심법 (3 Circumcenter Method)

* 참고문헌: 링크

위 링크의 글은 이전까지 논증기하적 증명이 없었던 아래 두 문제에 대한 증명을 소개하고 있어.

이 중 Q1에 대해서만 짤막하게 소개하고 넘어갈게.

이 아이디어의 핵심은...

'3개의 외심과 2쌍의 합동인 삼각형을 통해 A에서 D까지의 경로를 구성하는 동일한 길이의 선분 6개를 언제나 만들 수 있다.'

이 6개 선분들은 주어진 네 개의 각도 (a, b, c, d)로부터 BC와 이루는 각을 전부 계산할 수 있고,

이를 통해 복소평면에서 계산하기 편한 형태로 바꿀 수 있게 돼.

아래 풀이에서 빨간색 선분의 길이는 전부 같고,

뜬금없이 정오각형이 튀어나오는 부분은 복소평면을 통한 증명으로 얻은 아이디어라고 생각하면 됨.

복소평면 계산 부분은 자세하게 다루지 않을거야.

저 아래 그림에서 정오각형과 정삼각형이 나타나는 것만 확인하면 돼.

이를 토대로 조금 더 체계적인 논증기하적 증명 방법을 만들었다 정도로만 이해하면 충분할듯.

PART IV. 삼각비를 통한 계산

* 참고문헌: 링크

하지만, 여전히 복소평면을 이용한 증명도 e의 각도를 알고 있는 상태에서 증명하는 것이기 때문에,

어떻게든 (a, b, c, d)를 통해 e의 근사치라도 얻어내는 방법이 필요해.

아래의 삼각비 풀이가 그 방법이야.

'방법 1'이 컴퓨터로 계산하기는 더 효율적인 식이야.

중간 과정에서 각체바와 비슷한 꼴의 식을 이용하기 때문에 ii)의 경우에도 적용할 수 있어.

하지만 '방법 2'를 소개한 것은 '방법 1'을 통해 얻은 해가 실제 해임을 이걸로 증명할 수 있기 때문이야 (tan로만 이루어져 있기 때문에 가능).

이 또한 여기서 자세히 설명하지는 않을거고, 궁금하면 참고문헌을 확인하길 바라.

실제로, '방법 1'을 통해 (a, b, c, d)로부터 e를 계산하거나

설정한 a ~ d의 범위와 조건 (배수 조건, 둔각 여부, 이등변삼각형 여부 등등)으로부터

가능한 (a, b, c, d, e) 순서쌍을 모두 찾아내는 Python 프로그램을 만들었고, 문제 만드는데 유용하게 써먹음.

물론 아래의 네 가지 자명한 케이스는 제외.

i) b = d: 공원점이 되는 경우

ii) (c = a + b, d = 90 - a) or (c = 180 - 2(a+b), d = 2b): 한 꼭짓점이 다른 세 꼭짓점의 외심이 되는 경우

iii) (a = b, c = 180 - 2d) or (d = 2b, d = 180-2c): 한 꼭짓점이 다른 세 꼭짓점의 방심이 되는 경우

iv) a = b, c = 90 - a: 대칭이 되는 경우

몇 가지 실행 예시를 들면,

1) 10의 배수 각도, 예각삼각형, a≥c (대칭성 제거): 총 33가지

* case 29가 오리지널 랭글리 문제

2) 정수 각도, 이등변삼각형, a≥c: 총 26가지

* case 16이 오리지널 랭글리 문제.

3) 10/7의 배수 각도, 이등변삼각형, a≥c: 총 13가지

* case 7이 딱지치기 문제의 경우

4) 각도 계산 예시

* langley(a, b, c, d) = e

* 첫 번째는 오리지널 랭글리 문제

* 두 번째와 세 번째는 Part III의 두 문제

* 네 번째는 딱지치기 문제

[시리즈 링크]

삼각형 #01: 외심과 내심의 거리

삼각형 #02: 외심과 방심의 거리

삼각형 #03: 외심과 무게중심, 수심의 거리

삼각형 #04: 대칭중선과 르무안점

삼각형 #05: 오심 Summary

원 #01: 방멱과 근축에 관하여

원 #02: 방멱과 근축 - 공간으로의 확장 및 적용

원 #03: 원에 내접하는 사각형

원 #04: 데카르트 정리와 일반화

작도 #01: 직선자만 사용하는 평행선 작도법