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신기방기 재미있는 수학적 사실들
1. 바젤 문제자연수를 하나씩 더해 나가면 그 합은 무한히 커진다. 이는 옆집 여초딩도 아는 사실이다. 그렇다면 역수는 어떨까?얼핏 보면 더하는 값이 점점 작아져 0에 가까워지므로 그 합이 무한히 커지기는 힘들어 보인다. 실제로 이 합이 100을 넘으려면 다음과 같이 약 1.5재(1재=10^44) 개나 되는 항이 필요하다. 그러나 아래와 같은 간단한 논리로 위의 합이 무한대로 발산함을 알 수 있다.좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리 더하면우변은 1/2을 계속 더해 나가므로 무한히 커지고, 따라서 그보다 큰 좌변도 무한히 커진다.이번엔 더하는 값들을 더 빠르게 감소시켜 보자. 자연수를 제곱한 뒤 역수를 취한다.이 합은 수렴함이 알려져 있다.(증명은 어렵지 않지만 글이 길어지므로 생략하겠다.) 그러나 그 수렴 값이 정확히 얼마인지는 의외로 구하기가 어려워서 오래도록 알려지지 않았다. 1734년, 마침내 천재 수학자 오일러에 의해 그 값이 π^2/6임이 알려지는데, 놀랍지 않은가? 자연수로 만들어 낸, 원과는 일절 관련이 없어 보이는 합에서 갑자기 원주율이 등장한다. 그것도 제곱의 형태로 말이다.위 합을 바젤 문제라 부르며, 다음과 같이 제곱을 각각 4제곱, 6제곱, 8제곱 등으로 바꾼 합에서도 비슷한 양상이 관찰된다.바젤 문제를 이용하면 두 자연수가 서로소일 확률을 구할 수 있다.(두 자연수의 최대 공약수가 1일 때, 즉 두 자연수의 공통 소인수가 존재하지 않을 때 그 둘을 서로소라 한다. 2와 7, 6과 35, 99와 100 따위다.) 야매로 구하자면 다음과 같다.두 자연수가 서로소일 확률을 x라 하자. 먼저 각각의 자연수 n에 대하여, 무작위로 택한 두 자연수의 최대 공약수가 n일 확률 p(n)을 구하자. 두 자연수의 최대 공약수가 n이기 위해서는 첫째로 그 둘이 모두 n의 배수여야 하고, 둘째로 그 둘을 각각 n으로 나눈 두 값이 서로소여야 한다. 첫째를 만족시킬 확률은 (1/n)×(1/n)=1/n^2, 첫째를 만족시킨 상태에서 둘째를 만족시킬 확률은 두 자연수가 서로소일 확률과 같으므로 x이다. 따라서 p(n)=(1/n^2)×x이다. 이때 두 자연수의 최대 공약수가 각각 1, 2, 3, ...일 확률을 모두 더하면 결국 모든 경우에 대한 확률이 되므로 그 값은 1이다. 이를 식으로 나타내면이고 따라서 두 자연수가 서로소일 확률은 이다.2. 가우스 적분학생들의 시험 점수, 성인 남성의 키와 같이 세간 및 자연에 존재하는 수치들은 일반적으로 다음과 같은 종 모양의 정규 분포를 따른다.이러한 분포를 식으로 나타내면과 같다. 여기서 m은 평균, σ는 표준 편차이고 e는 약 2.72 정도 되는 무리수이다. e 또한 π처럼 자연과 수학에서 자주 등장하는 유용한 상수이다.위 함수의 핵심만 표현하면 아래의 함수가 된다.e를 밑으로 하는 지수 함수에 2차 함수를 합성한 모양이다. 그래프는 아래와 같다.이 그래프와 x축 사이 영역의 넓이를 구해 보자. 이때 사용되는 적분을 가우스 적분이라 한다.보다시피 그 넓이는 원주율의 제곱근이 된다. 이 또한 원과의 관련성이 전무해 보이는 곳에서 원주율이, 그것도 제곱근으로서 튀어나오다니 놀라울 따름이다. e가 π로 변신하는 모습이 마치 자연이 하나로 연결되어 있다는 인상을 주는 것만 같다.3. 가브리엘의 나팔y=1/x을 만족시키는 점 (x, y)를 좌표 평면에 모두 나타내면 다음과 같은 그래프가 그려진다.이 그래프에서 x≥1인 부분만을 x축을 축으로 하여 회전시키면 다음과 같은 입체 도형이 만들어진다.(그림에서는 잘 표현되지 않았지만 실제로는 x축 방향으로 무한히 뻗어 나가는 도형이다.)이 도형을 가브리엘의 나팔이라 부른다. 적분을 통해 부피와 겉넓이를 구해 보자.보다시피 나팔의 부피는 π로 유한하고, 겉넓이는 무한하다. 따라서 가브리엘의 나팔은 보통 다음과 같이 묘사된다.'유한한 양의 페인트로 그 속을 완전히 채울 수는 있지만 겉을 완전히 칠하기는 불가능한 도형'이는 우리의 직관에 반하는 신기한 예시이다.4. 리만 재배열 정리유한한 개수의 수는 어떤 순서로 더하든 그 값이 변하지 않는다. 가령 다음과 같다.그렇다면 수가 무한히 많은 경우에는 어떨까? 이를 알아 보기 전에 먼저 조건 수렴에 대해 알아야 한다.수열을 첫 항부터 차례대로 끝없이 더한 것을 급수라 한다. 수열 {a_n}의 급수는 아래와 같이 표현한다.예를 들어 바젤 문제는 다음과 같이 나타낸다.수열 {a_n}의 절댓값을 취한 급수 이 수렴하면 {a_n}의 급수는 절대 수렴한다고 한다. 그리고 원래 급수 은 수렴하지만 은 수렴하지 않으면 {a_n}의 급수는 조건 수렴한다고 한다. 예를 들어 수열 {(-1)^(n-1)×1/n}의 급수는 아래와 같이 조건 수렴한다.이 수열의 순서를 다음과 같이 살짝 바꿔서 더해 보자.아레레레? 순서만 살짝 바꿨을 뿐인데 수렴 값이 절반으로 줄었다.이로부터 무한히 많은 수를 더할 때에는 순서를 함부로 바꿔서는 안 된다는 것을 알 수 있다. 실제로 아래의 리만 재배열 정리라는 굉장한 사실이 성립한다.'수열의 급수가 조건 수렴한다고 하자. 이 수열의 순서를 적당히 바꾸면 그 급수를 아무 원하는 값으로 수렴하게 할 수 있다. 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산하게 하는 것도 가능하다.'참고로 절대 수렴하는 급수는 유한한 수의 덧셈과 마찬가지로 순서에 상관없이 그 값이 일정하다는 사실이 알려져 있다.5. 선택 공리어떤 사실을 증명하고자 할 때는 논리를 뒷받침해 줄 다른 사실들이 필요하다. 그 뒷받침 사실들을 증명하려면 역시 또 다른 사실들이 필요하다. 이렇게 꼬리에 꼬리를 물며 가다 보면 더 이상 뒷받침 사실이 존재하지 않는 사실에 도달할 수밖에 없다. 이러한 사실들은 어쩔 수 없이 증명 없이 참으로 받아들일 수밖에 없는데, 이렇게 무조건적으로 참으로 받아들여서 다른 사실들의 기반이 되는 사실들을 공리라 부른다.수학자들은 꼭 필요한 공리를 여러 개 정해 놓고 그 위에서 많은 수학적 사실들을 증명해 나간다. 마치 게임을 시작하기 전에 규칙을 미리 정해 놓는 것과 같다.수학에서는 뜨거운 감자와 같은 공리가 하나 존재하는데 바로 선택 공리이다. 맨 처음 공리를 정할 때 이 선택 공리를 포함하느냐 포함하지 않느냐의 기로에 서게 되는데, 각각의 장단점이 있는 것이다.먼저 선택 공리가 무엇인지 간단히 알아 보자. 다음과 같이 여러 개의 집합이 있고, 각 집합은 적어도 하나의 원소를 가진다.각각의 집합에서 원소를 하나씩 고르는 것은 매우 쉽다. 예를 들어 1, b, ☆과 같이 뽑을 수 있다. 집합의 개수가 유한한 경우에는 너무나 당연히 이런 작업이 가능하다.그렇다면 집합이 무한히 많은 경우에는 어떨까? 원소가 적어도 하나씩은 들어 있는 무한히 많은 집합이 있을 때, 항상 각각의 집합에서 원소를 하나씩 고를 수 있다고 보장할 수 있을까? 우리의 직관에 의하면 이는 말할 것도 없이 당연히 가능한 것으로 보인다. 각 집합마다 원소가 무조건 존재하므로 그중 하나씩을 택하면 되지 않는가?이처럼 원소가 존재하는 집합들이 (유한 개든 무한히 많든) 주어졌을 때 항상 각 집합에서 원소를 하나씩 뽑을 수 있다는 것이 선택 공리이다.그런데 선택 공리는 현재 널리 사용되는 공리 체계에서 참인지 거짓인지 증명할 수 없다는 것이 알려져 있다. 또한 이것이 참인 경우와 거짓인 경우 모두 기존 공리 체계에 아무런 모순이 발생하지 않음도 알려져 있다. 즉, 선택 공리는 공리로 받아들여도 되고, 받아들이지 않아도 된다는 것이다.선택 공리는 직관적으로는 마땅히 참이라고 생각되어 공리로 받아들이고 싶게끔 유혹한다. 실제로 선택 공리를 참으로 두면 '모든 벡터 공간에는 기저가 존재한다.'와 같은 유용한 정리들을 수두룩하게 증명할 수 있다는 장점이 있다.그러나 선택 공리는 큰 단점을 수반한다. 기본적으로 선택 공리는 선택의 존재를 무조건적으로 보장하기에 매우 비직관적인 기괴한 사실들이 증명되어 버린다. 아래의 바나흐-타르스키 역설이 대표적이다.'속이 꽉 차 있는 공 하나를 유한 개의 조각으로 쪼갠 다음 적절히 재조립(이동과 회전만 가능.)하면 원래의 공과 완전히 동일한 공 2개를 만들 수 있다.'즉, 공이 복사가 된다는 얘기이다. 부피도 완전히 2배가 되어 버린다.이를 처음 본 순간 뇌 정지가 올 수도 있다. 현실에서는 공을 복사할 수 없다. 질량 보존 법칙을 생각하면 당연지사이다. 설령 가상의 수학적 공간이라 하더라도 머릿속에서 해당 과정을 떠올리는 것은 쉽지 않다.이러한 바나흐-타르스키 역설 외에도 정렬 정리 등의 비직관적인 사실들이 선택 공리로부터 증명된다. 직관적인 사실로부터 비직관적인 사실이 유도되는, 기묘한 현상이다. 이로 인해 선택 공리를 거부하는 수학자들도 더러 존재한다.
작성자 : ㅇㅇ고정닉
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