입자의 위치와 운동량을 동시에 정확하게 알 수 없다는 게 불확정성 원리임.

여기서 위치와 운동량을 동시에 안단 얘긴 'm=1kg의 입자가 현재 dx/dt=3m/s의 속도로 x=4m 지점을 지나고 있다.' 따위의 얘길 할 수 있단 거고, 그런 게 불가능하단 게 불확정성 원리임.

어째서 그런 말을 할 수 없는 걸까? 양자역학을 알아야만 납득할 수 있으니 교과서를 펴보자. (나는 Griffiths에게 배워서 그를 따르겠음.)

교과서 : 특정 입자에 대해, 우리가 알 수 있는 최대한은 그 입자의 파동 함수다.

교과서 밖 얘기 : 그런데, 앞으로 얘기하겠지만 그 파동 함수에 담긴 정보란 게 상식적으로 우리가 알 수 있다고 생각했던 것보다 훨씬 적어, Einstein과 Schrodinger 같은 역대급 물리학자들도 그를 사실이라 믿지 않았음. 이 글의 주제인 불확정성 원리를 비롯한 여러 상식적이지 않은 결과들이 그로부터 얻어지니까 일단은 그런가 보다 받아들인 체 논의를 계속하자. (근래 행해진 실험 결과만 스포일러 하고 넘어가자면, 교과서의 얘기가 맞고 Einstein과 Schrodinger가 틀렸음을 시사했음. 적어도 국소성을 원리로 받아들였을 땐 그러한데, 이 분야도 최근까지 연구가 되고 있는지라 전공자가 듣기에도 왱알왱알과 다름 없는 소식들이 간간히 들려와서 자세히는 모름.)

그럼 그 파동 함수란 게 입자에 대한 어떤 정보 밖에 주지 못하길래? 불확정성 원리를 얘기하는 데 필요한 위치와 운동량만 살펴보자.

입자의 파동 함수 ψ란, 위치 x 하나당 하나의 복소수 ψ(x)가 할당된 대응인데, 그 값은 입자가 x에서 발견될 확률 밀도의 진폭임. 확률 밀도가 아니라 확률 밀도의 진폭이란 건, 그 복소수를 절대값 제곱했을 때 확률 밀도 ρ(x)를 얻는단 말임. 즉, |ψ(x)|² = ρ(x) 로, 파동 함수의 크기가 큰 곳에서 입자가 발견될 확률도 높은 거라 말할 수 있음. 보이는대로란 얘기.

입자의 운동량에 관한 모든 정보 역시 파동 함수 ψ에 담겨있는데, 이 쪽은 좀 더 추상적으로 느껴질 수 있음. 먼저 필요한 수학 정리가 있는데, 어떤 함수든 λ-모드라 부르는 일정한 파장 λ를 갖는 함수들을 (모든 λ에 대해) 더해 만들 수 있음. 주어진 파동 함수 ψ(x)에 대해 그런 분해를 해보면, 각 λ마다 λ-모드가 ψ(x)에서 차지하는 비율을 얻을 수 있을 것임.(참고로 분해되는 함수 ψ가 복소수를 함수값으로 가져서 그 비율이란 것도 복소수임.) 여기까진 수학적으로 당연한 사실이고, 물리학 법칙이 말하는 건 바로 그 비율이 입자의 운동량이 p=h/λ으로 측정될 확률 밀도 ρ(p)의 진폭이란 것임. 즉, 그 비율의 함수란 걸 φ(h/λ)=φ(p)라 쓰면, |φ(p)|² = ρ(p) 와 같이 위치에 대해 ψ(x)가 했던 역할을 운동량에 대해선 φ(p)가 한단 말임. 그런 점에서 φ(p)를 운동량 파동 함수라 부름. 그 크기인 |φ(p)|가 클수록 입자의 운동량을 측정했을 때 p일 확률이 높으니, 보이는대로 해석하고 싶어 φ(p)를 고안했다고 생각해도 됨.

이 글에선 |ψ(x)|² = ρ(x)를 만족하는 ψ(x)에서 시작해 φ(p)를 정의하긴 했지만, 거꾸로 |φ(p)|² = ρ(p)를 만족하는 φ(p)에서 시작해 ψ(x)를 정의할 수도 있음. 물론 그 경우엔 앞선 논의에서 일정한 운동량, 즉 일정한 파장을 갖는 λ-모드와 같은 역할을 하게 되는 건 일정한 위치 x를 갖는 x-모드(x에서만 뾰족하게 값을 갖고 그 외의 모든 점에선 0인 함수)일 것임. 이 글을 따라가면 위치와 운동량은 서로 동등한 물리량으로, 어느 한 쪽이 우위를 점하지 않는단 점이 잘 보이지 않으니 짚고 넘어가는 거.

만약 처음부터 입자의 정보가 담긴 대상을 파동 함수 대신 |ψ>라는 좀 더 추상적인 녀석으로 쓰는 Dirac의 표기법을 따랐다면, 앞서 얘기한 위치와 운동량의 파동 함수들은 ψ(x)=<x|ψ>와 φ(p)=<p|ψ> 같이 정의되어 동등하게 다룬단 느낌이 분명하게 들었을 것임. 다시 한 번 강조하지만 ψ(x)나 φ(p), |ψ>까지도 똑같이 입자의 정보를 담고 있음. 어느 물리량에 관한 정보를 뽑아내고 싶은지에 따라 좀 더 편한 꼴이 ψ(x)나 φ(p)일 뿐, 같은 실체의 다른 단면으로 보는 게 적절함. (단면이 실체를 오롯이 나타낸단 점에선 부적절한 비유네.)

지금까지 얘기한 게 양자역학의 Copenhagen 해석임. 양자역학을 이루는 두가지 핵심 원리들 중 하나고, 그 중에서도 특히 받아들이기 힘든 부분이라 할 수 있음. (참고로 여태 얘기한 입자의 정보란 건 '특정 시각에서의' 정보였음. 그러니까, 특정 시각에서 입자의 상태가 특정 파동 함수 등으로 주어진다면, Copenhagen 해석을 따라 그 입자의 '그 시각에서의' 모든 정보를 뽑아낼 수 있는 것. 그런데 입자의 상태는 시간이 흐름에 따라 변할 수 있잖슴? 그 변화는 입자의 에너지에 따라 결정된다는 게 나머지 한 원리고, 불확정성 원리를 다루려는 현 논의에선 필요하지 않음.)


밑의 불확정성 원리에 1/2이 들어가는 이유를 묻는 질문글에 대한 답으로 쓰기 시작하다 힘들어서 찍 쌌다. 반응이 괜찮고 다시 기운이 생기면 다른 날 이어쓰겠음.