F가 코사인 함수일 때 다음과 같이 나타내는 걸 forced 진동이라고 하잖아

F = mx'' + γm x' + mw_0^2 x

F가 한 일률을 구하려는데

P = F dx/dt 를 정리하니깐

P = d/dt (1/2 mv^2 + 1/2 kx^2) + γmv^2

이라고 정리가 됐어 여기 보이는 운동에너지랑 위치에너지 합을 E라고 하고

P를 충분히 긴 시간에 대해서 평균내면 <P> = <γmv^2> 으로 저 E가 사라진다는데 왜 그런거임?

이건 지금 역학적에너지가 보존되는 상황이 아니라서 E= 상수라고 취급할수도 없고 E를 시간에 대해서 평균내면

(1/T) intgral(0~ T)(dE/dt)dt = (1/T) integral(E_0 ~ E_T) dE = (E_T - E_0)/T 라고 되어야하고 충분히 긴 시간에서는 E_T=0이 될테니깐 이 평균값은 -E_0/T 라고 되어야 하는 거 아니야?

책에는 버젓이 dE/dt 평균값이 0이라고 나왔음 왜 그럼?