『원뿔곡선론』을 따라가긴 하는데 원본과 똑같지는 않고 적당히 순서를 바꾸거나 통째로 내가 쓴 것도 있음. 이상한 거 있으면 제보 바람.

명제 1에서 명제 19까지 다룰 예정이고 두 파트로 나눠서 작성됨.

정의. 포물선은 주어진 점 사이의 거리가 주어진 직선 사이의 거리와 같은 점의 자취이다.

명제 1. 포물선 안의 점은 초점 사이의 거리보다 준선 사이의 거리가 더 길고, 밖의 점은 그 반대이다.

증명: S를 포물선의 초점, Q가 포물선 안의 점이라 하자. P에서 포물선과 만나고 K에서 준선과 만나는 준선과 수직인 직선 QPK를 그어라. SP+PQ>SQ이고 SP+PQ=PK+PQ=QK으므로 SQ<QK이다.

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명제 2. 포물선의 수직지름은 그 포물선의 꼭짓점과 초점 사이의 거리의 4배이다.

수직지름은 초점을 지나고 축과 수직인 현을 말하는 거임.

증명: 선분 LSL'가 포물선의 수직지름이라고 하자. L에서 준선에 내린 수선의 발을 K'라 하자. LS=LK'=SX=2AS이므로 LSL'=4AS이다.

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명제 3. P는 포물선 위의 점이다. P에서 준선에 내린 수선의 발을 K, 포물선의 꼭짓점을 A, 포물선의 초점을 S라 하자. 직선 PA와 준선의 교점을 E라 할 때, 각 KSE는 직각이다.

증명: 직선 ES를 그어라. 직선 KP와 직선 ES의 교점을 L이라 하자. SA=AX이므로 PL=PK=SP이다. 따라서 P는 K, S, L을 지나는 원의 중심이며, KL은 지름이므로 각 KSE는 직각이다.

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명제 4. AN이 A의 가로좌표일 때, PN²=4AS×AN이다.

나중에 세로좌표의 정의가 확장되긴 하지만 지금은 P에서 축에 내린 수선의 발을 N이라고 했다고 보면 됨.

증명: 축과 준선의 교점을 X라 하자. 닮음에 의해 PN/EX=AN/AX=AN/AS이다. 명제 3에 의해 삼각형 KSE는 직각삼각형이므로 EX×KX=SX²=4AS²이다. KX=PN이므로 두 식의 양변을 곱하면 PN²=4AS×AN이다.

고등학교에서 배우는 포물선의 방정식 x²=4py와 완전히 똑같은 식을 이끌어내는 부분임.

따름정리. 만약 AN이 무한히 커진다고 하면, PN도 무한히 커질 것이고, 축으로 나뉘는 곡선의 두 부분도 위아래로 무한히 멀어질 것이다.

명제 5. 포물선의 초점을 지나는 현의 양 끝점에서 준선에 수선을 내리면, 교차한 준선의 부분과 초점에서 마주보는 각은 직각이다.

증명: E를 지나고 준선과 수직인 직선과 직선 PS의 교점을 P'라 하자. P'는 포물선 위의 점이므로 PS를 포함하는 현의 반대쪽 끝점이다. P'에서 내린 수선의 발은 E이고, 명제 3에 의해 각 KSE는 직각이다.

명제 6. 포물선의 초점을 S, 포물선 위의 임의의 점 P에서 내린 수선의 발을 K라 하자. P에서의 접선은 직선 SP와 직선 PK가 이루는 각을 이등분한다.

증명: 각 KPS를 이등분하는 직선과 준선이 만나는 점을 F라 하자. 직선 PF가 접선이 아니라면, PF는 포물선과 P가 아닌 점 P'에서 만날 것이다. 삼각형 PP'K와 삼각형 PP'S는 SAS 합동이므로 P'S=P'K이다. P'에서 준선에 내린 수선의 발을 K'라 하자. P'는 포물선 위의 점이므로 P'S=P'K'이고, P'K=P'K'이다. P'K'K는 직각삼각형이므로 P'K>P'K'이다. 그런데 이것은 앞서 보인 P'K=P'K'과 모순이다. 따라서 각 KPS의 이등분선은 P에서의 접선이다.

포물선의 반사 법칙이라고 부르는 성질임. 증명은 귀류법.

명제 7. 포물선의 초점을 지나는 현의 양 끝점에서 그은 두 접선은 준선 위에서 직각을 이룬다.

증명: 선분 PSP'를 포물선의 현이라 하자. P에서의 접선과 P'에서의 접선의 교점을 F라 하자. 명제 6에 의해 PF는 SK를 수직이등분하고, P'F는 SK'를 수직이등분한다. 따라서 F는 삼각형 KSK'의 외심이다. 명제 5에 의해 삼각형 KSK'는 직각삼각형이므로 F는 빗변인 KK'의 중점이고 각 PFP'는 직각이다.

명제 8. P에서의 접선과 축의 교점을 T, 포물선의 꼭짓점을 A라 하자. AN이 A의 가로좌표일 때, AT=AN이다.

증명: P에서 준선에 내린 수선의 발을 K라 하자. ∠SPT=∠TPK=∠PTS이므로 ST=SP=PK=NX이다. 그런데 ST=SA+AT, NX=AN+AX이고 SA=AX이므로 AT=AN이다.

정의. 선분 NT는 접선영이라 한다. 명제 8에 의해 접선영은 접점의 가로좌표의 두 배이다.

subtangent는 공식적인 한글 표기가 없지만 접선영이라는 단어가 그럴듯하다고 봄.

가로좌표는 세로좌표가 PN인 것과 비슷하게 AN을 말하는 거임.

명제 9. 포물선의 초점 S에서 포물선 위의 임의의 점 P에서 그은 접선에 내린 수선의 발은 포물선의 꼭짓점에서의 접선 위에 존재하며, 초점 사이의 거리는 SP와 SA의 기하평균이다.

증명: SK와 PT의 교점을 Y라 하자. 그러면 SP=PK이고, PY는 삼각형 SPY와 KPY의 공통의 변, ∠SPY=∠YPK이므로 ∠SYP=∠PYK이다. 따라서 SY는 PT와 수직이다. 또한 SY=KY이고 SA=AX이다. 중점연결정리에 의해 AY는 KX와 평행하다. 즉, 직선 AY는 AS와 수직이므로 접선이다. ∠SPY=∠STY=∠SYA이므로 삼각형 SPY와 SYA는 닮음이다. 따라서 SY²=SP×SA이다.

정의. P에서 축에 내린 수선의 발과 P에서의 법선과 축의 교점 사이의 거리를 법선영(subnormal)이라 한다.

공식적인 표기가 준수직선인데 이건 무슨 의미인지 모르겠음

명제 10. 포물선에서 법선영은 일정하며 수직지름의 절반이다.

증명: P에서의 접선과 축의 교점을 T, P에서의 법선과 축의 교점을 G라 하자. 명제 6에 의해 각 SPK는 PT에 의해 이등분되므로 각 SPL은 PG에 의해 이등분된다. ∠SPG=∠GPL=∠PGS이므로 SG=SP=ST=SA+AT=SA+AN=2AS+SN이다. 따라서 NG=SG-SN=2AS이고 준수직선은 명제 2에 의해 수직지름의 절반이다.

따름정리. G에서 SP에 내린 수선의 발을 l이라 할 때, ∠GPl=90°-∠SPT=90°-∠STP=∠PGN이다. 두 직각삼각형 GPN과 GPl는 각이 같고 GP를 공통의 변으로 갖는다. 즉, 두 삼각형은 합동이다. 따라서 Pl=NG=2AS=수직지름의 절반이다.

다음 글에서 이어짐 https://gall.dcinside.com/m/geometry/2004