포물선 논증기하 (2): 명제 11-19

한연. · 2022.01.21 20:27:50

https://gall.dcinside.com/m/geometry/2001에서 이어지는 글임.

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명제 11. 포물선 바깥의 한 점에서 포물선에 접하는 직선을 작도하라.

풀이: 포물선 바깥의 한 점을 Q라 하자. SQ를 지름으로 하는 원과 꼭짓점 A에서의 접선의 교점을 Y, Y'라 하자. 직선 YQ와 Y'Q를 그으면 포물선과 접한다.

증명: 각 YSP와 각 YSA가 같고 직선 SP와 YQ가 P에서 만나도록 SP를 그어라. 각 SYP는 반원의 원주각이므로 직각이다. QY와 축의 교점을 T라 하면 삼각형 SYP와 SYT는 합동이다. 따라서 SP=ST, YT=YP이다. 그런데 AY는 PN과 평행하므로 AT=AN. SP=ST=SA+AT=AX+AN=NX이므로 P는 포물선 위의 점이다. 또한 PK가 준선에 수직이라 하면 ∠SPY=∠STP=∠YPK, PY는 P에서 포물선에 접한다. 같은 방법으로 각 Y'SP'와 각 ASY가 같도록 하면 또다른 접선인 QY'의 접점을 얻는다.

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명제 12. 만약 점 Q에서 접선 QP, QP'가 그려져 있다면, 두 삼각형 SPQ, SQP'는 닮음이며 SQ는 SP와 SP'의 기하평균이다.

증명: PQ와 축의 교점을 T라 하고, 접선과 수직한 직선 SY, SY'를 그어라. 그러면 Y, Y'는 A에서의 접선 위의 점이다. S, Y', Y, Q는 공원점이므로 ∠SPQ=∠STY=∠SYA=∠SQP'이다. P에서 준선에 내린 수선의 발을 K, P'에서 준선에 내린 수선의 발을 K'라 하자. 명제 6에 의해 Q는 삼각형 KSK'의 외심이다. Q에서 내린 수선의 발을 L이라 하면 엇각에 의해 ∠PSQ=∠PKQ=∠KQL=∠LQK'=∠QK'P'=∠QSP'이다. 따라서 삼각형 PSQ, QSP'는 닮음이고 SP:SQ=SQ:SP'이다.

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명제 13. 두 접선이 이루는 각의 외각은 두 접점을 이은 현과 초점에서 마주보는 각의 절반이다.

증명: P, P'에서의 접선이 서로 만나는 점을 Q, 축 ASN과 만나는 점을 T, T'라 하자. SP와 SP'를 그으면 각 SPT와 STP는 같다. 따라서 각 STP는 각 PSN의 절반이다. 비슷하게 ST'P'는 P'SN의 절반이다. 그런데 TQT'는 STP와 ST'P'의 차와 같으므로 PSN과 P'SN의 차의 절반, PSP'의 절반과 같다. 따라서 SQ를 그으면 TQT'는 각각 PSQ, P'SQ와 같다.

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명제 14. 어떤 점 Q에서 포물선에 그은 두 접선이 축 및 Q와 초점을 지나는 직선과 이루는 각은 같다.

증명: QP, QP'는 접선이라 하자. SP를 긋고, 축과 평행하면서 SP와 E에서 만나는 직선 QE를 그어라. PQ가 축과 T에서 만날 때, ∠EQP=∠STP=∠SPQ=∠SQP'이다. 즉, QP와 QP'가 축 및 QS와 이루는 각은 같다.

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명제 15. 포물선의 세 접선의 교점을 지나는 원은 초점을 지난다.

증명: 세 접점을 Q, P, Q', 세 교점을 F, T, F'라 하자. FP와 FQ는 접선이므로 명제 12에 의해 ∠SQF=∠SFP이다. 같은 방법으로 ∠SQT=∠STQ'이다. ∠SFF'=∠SQT=∠STF'이므로 S, F, T, F'는 공원점이다.

정의. 포물선 위의 임의의 점을 지나고 축과 평행한 직선을 지름이라 한다.

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명제 16. 임의의 점 T에서 포물선에 접선 TQ, TQ'을 그으면 T와 Q, Q'를 지나는 지름 사이의 거리는 같고 T를 지나는 지름은 현 QQ'를 이등분한다.

증명: SQ, SQ'을 그어라. 각각 SQ와 SQ'와 수직하게 TM, TM'을 그어라. Q와 Q'를 지나는 지름에 수직하고 각각의 지름과 N, N'에서 만나도록 NTN'를 그어라. 그러면 명제 12에 의해 TS는 각 QSQ'를 이등분하므로 TM=TM'이다. TQ는 각 SQN을 이등분하므로 TN=TM, 같은 방법으로 TN'=TM'이다. 따라서 TN=TN'이다. QQ'를 긋고 QQ'와 V에서 만나는 지름 TV를 그어라. QT와 Q'N'가 만나는 점을 R이라 하자. 삼각형 QTN, RTN'은 닮음이므로 QV:VQ'=QT:TR=TN:TN'이다. 따라서 QV=VQ'이다. 즉, 현의 중점을 지나는 지름은 현의 양 끝점에서의 접선의 교점을 지난다.

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명제 17. 임의의 지름은 그 지름의 끝점에서의 접선과 평행한 모든 현을 이등분하며, 그러한 현의 양 끝점에서의 접선의 교점을 지난다.

증명: QQ'를 P에서의 접선과 평행한 현이라 하자. Q와 Q'에서의 접선의 교점 T에서 QQ'와 평행하고 Q와 Q'를 지나는 지름과 각각 F, F'에서 만나도록 FTF'를 그어라. P에서의 접선과 TQ, TQ'의 교점을 각각 E, E', QF, Q'F'의 교점을 각각 G, G'라 하자. EG:TF=EQ:TQ=E'Q':TQ'=E'G':TF'이다. 그런데 명제 16에 의해 T와 QG, Q'G' 사이의 거리는 같으므로 TF=TF'이다. 따라서 EG=E'G'이다. 또한, E와 QG, PV 사이의 거리는 같으므로 EP=EG이다. 따라서 EP=E'P이고 GP=PG'이다. 그리고 QV=VQ'이다. T, P, V는 QF, Q'F' 사이의 거리가 같은 점들이고, TPV는 직선이라는 것 또는 지름 VP가 T를 지난다는 것이 따라나온다. 우리는 GE, EP, PE', E'G'가 모두 같다는 것을 보였으니 EE'=½GG'=½QQ'임을 알 수 있다. 따라서 TP=½TV 또는 TP=PV이다. 즉 한 쌍의 접선의 교점을 지나는 지름은 두 접점을 이은 현과 평행한 접선의 접점을 지나며 두 접점을 이은 현의 중점을 지난다. 그리고 두 접선의 교점과 두 접점을 이은 현의 중점을 이은 선분은 현과 평행한 접선의 접점에서 이등분된다.

이차함수로 바꿔서 생각해보면 {f(a)-f(b)}/(a-b)=f'((a+b)/2)에 해당하는 정리임. 미분을 이용해도 쉽게 증명할 수 있음.

정의. P에서의 접선과 평행하고 지름 PV에 의해 끊긴 선분 QV를 세로좌표라 하고, QQ'는 세로좌표의 두 배이다. 지름의 끝점인 P는 지름의 꼭짓점이라 한다. 그리고 PV를 가로좌표라 한다.

데카르트처럼 아예 방정식으로 바꾼다는 개념은 없었지만 좌표 자체는 기원전부터 있었다는 걸 보여주는 부분임. 심지어 직교좌표계도 아님.

정의. 임의의 점에서의 접선과 평행하고 초점을 지나는 현을 그 점을 지나는 지름의 parameter라 한다.

수학 사전엔 매개변수라고 되어 있는데 변수가 맞는지도 잘 모르겠고 어떤 선분이나 그 선분의 길이를 말하는 거라 매개변수라고 적으면 이상해서 걍 영어로 적음.

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명제 18. 임의의 지름의 parameter는 그 지름의 꼭짓점과 초점 사이의 거리의 네 배이다.

증명: P를 지름의 꼭짓점, QSQ'를 parameter라 하자. T는 Q와 Q'에서의 접선의 교점이고 FPF'는 P에서의 접선이다. FS와 F'S는 명제 12에 의해 각각 PSQ, PSQ'를 이등분한다. 따라서 FSF'는 직각이며 P는 FF'의 중점이다. SP=PF=PF'이다. 따라서 명제 17에 의해 QQ'는 FF'의 두 배이고 SP의 네 배이다.

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명제 19. QVQ'가 지름 PV의 세로좌표의 두 배일 때, QV는 PV와 P의 parameter의 기하평균이다.

증명: FPF'를 P에서의 접선이라 하자. PV와 U에서 만나는 P의 parameter를 그어라. 명제 15에 의해 S, F, T, F'는 공원점이다. 명제 12에 의해 각 SFQ와 각 SPF는 같으므로 외각인 SFT, SPF'도 같다. 명제 6에 의해 각 SPF'는 각 UPF와 같고, 엇각으로 각 SUP와 같다. 따라서 각 SFT는 SUT와 같고 S,U,F,T가 공원점이다. 명제 17(PT=PV)과 방멱정리에 의해 QV²=4PF²=4PU×PT=4SP×PV이다.

QV²=4SP×PV가 매우 중요한 식인데 x²=4py와 비교하면 꽤 재미있음. parameter를 매개로 PV가 주어지면 QV를 구할 수 있고, QV가 주어지면 PV를 구할 수 있음.

아폴로니우스는 좀 더 많은 성질을 다루고 있는데, 그 뒷부분은 별 값어치가 없어보여서 여기까지 다루기로 함.

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