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조화해석학은 고전적인 푸리에해석학의 연장선 상에 있는 학문이다.

이 글에서는 조화해석학의 여러 분야 중 고전적인 유클리드 공간 위에서의 조화해석학에 대해 간단히 알아보자.

푸리에급수 이론에서 궁금한 것 중 하나는 푸리에급수가 원래 함수로 수렴하는 지 여부일 것이다.

학부 해석학에서도 이런 내용을 일부 다룬다. Dirichlet kernel이나 Fejer kernel을 들어봤을 것이다. 푸리에급수의 부분합을 잘 정리해서 kernel과의 convolution 꼴로 정리한 후, 그 kernel의 좋은 성질에 의해 부분합의 극한이 원래 함수로 수렴한다는 식으로 설명을 한다. 원래 함수를 어떤 kernel과 convolution하는 것을 일종의 operator로 볼 수 있는데, 이 operator의 norm이 유한한 것과 푸리에급수가 원래 함수로 converge in norm하는 것이 동치인 것은 uniform boundedness principle로 알 수 있다. 그렇기 때문에 유클리드 공간 위에서 조화해석학을 할 때는 어떤 operator가 유한한 norm을 갖는 지 많은 관심을 갖는다.

Measure space (X, m), (Y, m')과 1 ≤ p, q ≤ ∞인 p,q가 주어지고 operator T : L^p(X, m) → L^q(Y, m')가 주어졌을 때 그 operator의 norm이 유한하다면 T가 strong (p, q) type이라고 한다. strong type이 존재한다는 것은 weak type도 존재한다는 소린데, weak type의 정의는 Chebyshev inequality와 유사하게 정의된다. (여기에 수식을 쓰면 극혐이 되니 궁금한 사람만 찾아보도록 하자.) Strong과 weak라는 두 종류가 존재하는데, strong이면 weak이기 때문에 이런 이름이 붙여졌다. distribution function과 Fubini theorem을 이용하여 L^p norm을 다르게 계산하는 방식을 생각해보면 알 수 있다.

결국 어떤 operator가 주어졌을 때 strong (p, q)인 p와 q가 어느 범위까지 될 지 궁금해지는 것이다. 이를 알아보는 강력한 방법이 몇 가지 있다. 첫 번째는 Plancherel theorem(혹은 Parseval theorem)이다. 우선 쉽게 생각하기 위해서 T가 푸리에변환이라고 생각하자. 좋은 함수들만 모아놓은 Schwartz class가 L^p에서 dense하기 때문에 L^p에서 푸리에변환은 잘 정의된다. Plancherel theorem은 어떤 함수 f의 L^2 norm과 그 푸리에변환 f^의 L^2 norm이 같다는 정리이다. 이 덕분에 strong (2, 2) type여부는 쉽게 얻어낼 수 있다. 또한 푸리에변환의 정의에 따라 strong (1, ∞) type임도 알 수 있다.

(p, q) 범위를 얻어내는 방법은 또 다른 강력한 방법은 interpolation이다. Riesz interpolation theorem(혹은 Riesz-Thorin theorem)은 어떤 linear operator T : L^p0(X, m) + L^p1(X, m) → L^q0(Y, m') + L^q1(Y, m')가 strong (p0, q0)이고 strong (p1, q1)이라면 (1/p0, 1/q0)와 (1/p1, 1/q1)을 잇는 선분 위의 모든 (1/p, 1/q)에 대해 strong (p, q)라는 것이다. (여기서 편의상 1/∞ = 0으로 생각한다.) 이를 통해 두 점에 대한 결과를 가지고 더 많은 결과를 얻어낼 수 있다. 위에서 말한 푸리에변환의 경우 strong (2, 2)이고 strong (1, ∞)이므로 1 ≤ p ≤ 2이고 1/p + 1/ q = 1인 (p, q)에 대해서 푸리에변환이 strong (p, q) type이라는 것을 interpolation theorem을 통해 알아낼 수 있다. 이는 Hausdorff-Young inequality로 알려져있기도 하다. 이와 유사한 과정을 거쳐 Young's convolution inequality도 얻어낼 수 있다.

이와 같은 interpolation theorem은 몇 가지가 더 알려져있다. Marcinkiewicz interpolation theorem은 (non)linear operator가 weak (p0, q0)이고 weak (p1, q1)일 때 (1/p0, 1/q0)와 (1/p1, 1/q1)을 잇는 선분 내부의 모든 (1/p, 1/q)에 대해 strong (p, q)임을 알려준다. 경계가 strong인 지 모르더라도 weak라는 것을 아는 것만으로도 선분 내부에서 strong이라는 것을 알려주는 좋은 정리이다. 이를 쓸 수 있는 대표적인 예시가 Hardy-Littlewood maximal function이다. 실해석학에서 다루지만 Hardy-Littlewood maximal function은 르벡적분불가능한 함수이다. 하지만 어떤 함수 f를 Hardy-Littlewood maximal function으로 보내는 operator를 T라고 할 때, T는 weak (1, 1)임이 알려져있다. 이와 같이 maximal function과 비슷한 operator를 다룰 때 유용한 정리가 된다.

Strong type인 지 알아내는 또 하나의 방법은 duality이다. L^p에 있는 함수 f의 norm을 정의하는 방법 중 1/p + 1/q = 1인 q에 대해서 L^q에 들어가고 L^q norm이 1인 함수 g와 곱해서 적분한 값의 sup으로 정의하는 방법이 있다. 이와 같은 L^p norm의 정의와 operator의 adjoint를 이용하여 1 ≤ p ≤ 2에서 strong type임을 알아냈을 때 2 ≤ p ≤ ∞에서 strong type 여부를 알아내는 방법을 duality라고 한다.

그 밖에 여러가지 테크닉이 더 있겠지만, 여기서는 위 3가지 정도만 소개하도록 하자. 이런저런 방법들을 가지고 주어진 operator가 strong type인 지 알아내는 것이 유클리드 공간 위에서의 조화해석학에서 주로 다루는 것이다.

여러가지 문제 중 restriction conjecture에 대한 이야기를 잠깐 해보자. restriction conjecture는 어떤 함수의 푸리에변환의 support가 어떤 hypersurface 위에 있을 때 그로부터 induce되는 surface measure에 대한 푸리에역변환으로 정의되는 operator의 norm에 관한 문제이다. E. M. Stein 선생님께서 낸 문제이며 Stein-Tomas, Wolff, Tao, Guth가 차례대로 결과를 발전시키고 있지만 아직까지 완전히 해결되지는 않았다. 이 문제에 관심이 있는 이유는 처음에 언급했던 푸리에급수가 다시 원래 함수로 수렴하는 지에 관한 Bochner-RIesz conjecture와 밀접한 연관이 있기 때문이다. 또한 hypersurface에서 singular한 operator로 정의되는 PDE에 응용될 수 있는 여지가 많으며 Kakeya conjecture와의 연관성도 있다.

사실 조화해석학에 대해 더 얘기하자면 distribution theory 이야기도 나올 것이고, stationary phase에 대한 이야기나 Strichartz estimate 등을 이용하여 PDE에 적용하는 방법, Kakeya conjecture 및 Bochner-Riesz conjecture에 대한 좀 더 자세한 이야기 등 여러가지 있다. 혹은 locally compact Lie group 위에서 Haar measure를 이용한 abstract harmonic analysis도 다룰 법한 주제이다. 그런데 필자의 노오력이 부족하여 이런 얘기들을 조리있게 정리할 정도로 공부하지 못하였으니 나중에 또 기회가 된다면 새로운 글을 통해 만나보도록 하자.

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이전에 썼던 글을 좀 더 리뉴얼해보았습니다.