파동함수와 슈뢰딩거 방정식.hard

스프링클 · 2021.07.05 07:52:59

이 글에선 과거 물리2에 포함된 적이 있으나 현재 2015 교육과정에선 제외된 슈뢰딩거 방정식에 대한 내용을 담고 있다

더 나아가 물리 전공자나 배울 법한 심화적인 내용 또한 일부 포함되어 있으니 흥미 위주로 봐주었으면 좋겠다

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빛은 파동인가, 입자인가? 라는 질문에서 출발하여 아인슈타인의

광양자설, 플랑크의 흑체 복사, 보어의 수소모형을 거쳐 현대 물리학의 대들보라 할 수 있는 양자역학이 탄생하였다

양자란 더이상 쪼갤 수 없는 물리량을 의미한다.

즉 길이, 에너지, 운동량 등과 같이 고전 물리에서는 연속적이리라 믿었던 것들이 사실은 이산적이었다는 진리로부터 도출된 학문이 양자역학이다

뉴턴으로 대표되는 고전역학을 지배하는 방정식은 그 유명한 뉴턴의 운동 방정식

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이다.

좌변 F가 주어진다면 이 미분방정식을 풂으로써 우리는 물체의 과거와 미래의 모든 운동 상태, 즉 위치와 속도, 가속도 등을 모조리 구할 수 있다

이와 마찬가지로 양자역학에는 다음과 같은 슈뢰딩거 방정식이 존재한다

무척이나 괴랄한 생김새를 자랑하지만 고전역학에서의 뉴턴방정식과 같은 위상을 갖는 아주 fundamental한 방정식이다

고전역학에서 시간에 따른 위치 즉,

를 알면 이를 미분하여 속도와 가속도 등을 구할 수 있었던 것처럼 양자역학에서는 파동함수

(Ψ, Psi, 프사이)를 알면 입자의 모든 상태를 구할 수 있다

파동함수는 위의 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 구할 수 있으나 일반적인 경우에 이는 매우 어렵다

그러나 특수한 경우, 즉 퍼텐셜 V가 매우 단순할 경우엔 해를 어렵지 않게 구할 수 있다

그 중 한 예가 고등 물리시간에 배우는 수소의 원자 모형과 오비탈이다

그렇다면 파동함수는 무엇을 의미하고 어떻게 활용되는가?

파동함수는 말 그대로 파동의 형태를 나타내는 함수이다

음파처럼 공간에서 퍼져나가거나 혹은 정상파와 같이 제자리에서 진동하는 파동을 떠올리면 된다

그러나 실제로 물리적인 의미(소리의 크기 등)를 갖는 음파와는 달리, 파동함수는 그것 자체로는 어떠한 물리적인 값, 즉 위치나 속도 등을 의미하지 않는다

입자가 파동과 같이 좌우로 흔들리면서 진행한다는 의미가 결코 아니다!

파동함수의 본질은 "확률"이다

파동의 위상이 큰 곳은 더 높은 확률을 의미하고, 작은 곳은 낮은 확률을 의미한다

정확히는 파동함수의 "절대값 제곱"에 비례하는 확률을 갖게 된다

파동함수는 음수나 허수의 값도 가질 수 있는데 절대값 제곱을 하는 과정에서 모조리 측정 가능한 실수로 바뀌게 된다

이때 우리는 확률만을 구할 수 있기 때문에 우리가 측정하고자 하는 위치나 운동량 등에 대해서도 모조리 확률적인 해석만 가능하다

즉 물체가 어느 범위 안에 존재할 확률, 물체가 가장 있음직 법한 위치(기댓값) 등만 계산할 수 있다는 것이다.

이로부터 불확정성의 원리가 연결되는데 이는 물리학2 교과서를 참고하기 바란다

예를 들어 파동함수 Ψ를 갖는 입자의 위치의 기댓값 <x>은 다음과 같이 구할 수 있다

여기서 *은 복소수의 켤레를 의미한다

만약 운동량의 기대값을 구하고 싶다면 단지 x 자리에 p의 연산자를 넣어서 적분하기만 하면 된다

그럼 가장 단순한 예인 무한 사각 우물에서 입자의 파동함수를 구해보자

다음 그림과 같이 길이가 L인 1차원 우물이 있다고 생각하자

왜 우물이라 표현했는가 하면

0<x<L에서는 퍼텐셜E가 0이라 입자가 자유롭게 존재할 수 있지만, 그 밖에서는 퍼텐셜이 무한대이기 때문에 입자가 결코 존재할 수 없는, 마치 우물 속에 빠진 것과 같은 상태이기 때문이다

따라서 입자가 우물 밖에서 존재할 확률, 즉 파동함수의 절대값 제곱은 확실하게 0이라고 말할 수 있다

그러므로 우물 밖에서 파동함수는

이다

문제는 우물 속이다

우물 속에서 입자의 파동함수는 슈뢰딩거 방정식을 만족하면서 연속이어야 하므로(파동함수는 언제나 연속이어야 한다) 그 가장자리에서 0이 되어야 한다

다행스럽게도 1차원만 고려되므로 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 라플라시안 대신 x에 대한 미분을 이용해 나타낼 수 있다

이 방정식을 풀기 위해서는 어떤 트릭이 필요하다

시간과 공간에 동시에 의존하는 파동함수를 시간과 공간 각각에 의존하는 두 함수의 곱으로 표현하는 변수분리를 통해 해결하는 것인데 고등과정을 벗어나므로 여기서 소개하지는 않겠다

중간과정을 생략하면 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 시간에 의존하는 항이 제거되어 다음의 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식이 된다

이때 소문자 프사이 ψ는 x에만 의존하는 파동함수이고 E는 허용된 에너지이다

무한 사각 우물 내부에선 V=0이므로

미분 앞의 계수를 이항하여

라 정의하면

이 미분방정식을 푸는 것은 간단하다

두 번 미분하였더니 앞에 -를 포함하는 계수가 붙는 함수는 sin과 cos이 있다

따라서 우리는 ψ의 형태를 다음과 같이 유추할 수 있다

그러나 앞서 우리는 우물의 두 가장자리에서 Ψ=0이라는 경계조건을 확인하였다

따라서

라는 결론을 얻는다 또한

이므로

이어야 한다

따라서

이다

여기서 모든 확률의 합, 즉 파동함수의 제곱의 모든 범위에서의 정적분이 1이어야 한다는 성질을 이용하여 A를 결정할 수 있다

따라서 최종적으로

이라는 해를 얻을 수 있다

n은 양의 정수이며 이 값이 클수록 큰 에너지를 갖게 된다

이 해 중 일부를 그림으로 나타내면 다음과 그림의 좌측과 같다

에너지가 가장 낮은 해(n=1)의 경우엔 입자가 존재할 확률(우측 그림)이 중앙에서 가장 높게 나오는 것을 확인할 수 있다

또한 n이 커짐에 따라 존재할 확률이 높은 곳이 늘어나는 것을 알 수 있다

이것이 무한 사각 우물에서 입자의 파동함수를 구하고 이를 해석하는 방법이다

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이상으로 슈뢰딩거 방정식과 무한 사각 우물에서의 활용에 대한 소개를 마치겠다

평소에 물리에 조예가 깊은 학생이라면 이 과정을 온전히 이해하진 못하더라도 파동함수라는 발상과 그로부터 도출된 결과를 이해하는데에 큰 어려움이 없으리라 생각한다

부디 물리학에 대한 관심과 열정을 키워 물리학과를 희망하는 학생이 늘어났으면 하는 바이다

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