디시인사이드 갤러리

마이너 갤러리 이슈박스, 최근방문 갤러리

갤러리 본문 영역

[칼럼] 파동함수와 슈뢰딩거 방정식.hard앱에서 작성

스프링클갤로그로 이동합니다. 2021.07.05 07:52:59
조회 4966 추천 56 댓글 25
														

이 글에선 과거 물리2에 포함된 적이 있으나 현재 2015 교육과정에선 제외된 슈뢰딩거 방정식에 대한 내용을 담고 있다

더 나아가 물리 전공자나 배울 법한 심화적인 내용 또한 일부 포함되어 있으니 위주로 봐주었으면 좋겠다


========================


빛은 파동인가, 입자인가? 라는 질문에서 출발하여 아인슈타인의
광양자설, 플랑크의 흑체 복사, 보어의 수소모형을 거쳐 현대 물리학의 대들보라 할 수 있는 양자역학이 탄생하였다

양자란 더이상 쪼갤 수 없는 물리량을 의미한다.

즉 길이, 에너지, 운동량 등과 같이 고전 물리에서는 연속적이리라 믿었던 것들이 사실은 이산적이었다는 진리로부터 도출된 학문이 양자역학이다


뉴턴으로 대표되는 고전역학을 지배하는 방정식은 그 유명한 뉴턴의 운동 방정식

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caf9b847c5283a6f923e92f75565cd1d83238c480609113bbe012b

이다.

좌변 F가 주어진다면 이 미분방정식을 풂으로써 우리는 물체의 과거와 미래의 모든 운동 상태, 즉 위치와 속도, 가속도 등을 모조리 구할 수 있다


이와 마찬가지로 양자역학에는 다음과 같은 슈뢰딩거 방정식이 존재한다

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caafb91493283d65c5e3b16cb9188fa32ceb52cb18d3e4591a8882

무척이나 괴랄한 생김새를 자랑하지만 고전역학에서의 뉴턴방정식과 같은 위상을 갖는 아주 fundamental한 방정식이다

고전역학에서 시간에 따른 위치 즉,

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caf8ec42c42f69629008a7bebe7c44caef53913c050a88d81fdb91

를 알면 이를 미분하여 속도와 가속도 등을 구할 수 있었던 것처럼 양자역학에서는 파동함수

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caaee846c5283462c1251573660a284a1f788f04e272eadc2ad6d7

(Ψ, Psi, 프사이)를 알면 입자의 모든 상태를 구할 있다

파동함수는 위의 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 구할 수 있으나 일반적인 경우에 이는 매우 어렵다

그러나 특수한 경우, 즉 퍼텐셜 V가 매우 단순할 경우엔 해를 어렵지 않게 구할 수 있다

그 중 한 예가 고등 물리시간에 배우는 수소의 원자 모형과 오비탈이다


그렇다면 파동함수는 무엇을 의미하고 어떻게 활용되는가?

파동함수는 말 그대로 파동의 형태를 나타내는 함수이다

음파처럼 공간에서 퍼져나가거나 혹은 정상파와 같이 제자리에서 진동하는 파동을 올리면 된다

그러나 실제로 물리적인 의미(소리의 크기 등)를 갖는 음파와는 달리, 파동함수는 그것 자체로는 어떠한 물리적인 값, 즉 위치나 속도 등을 의미하지 않는다

입자가 파동과 같이 좌우로 흔들리면서 진행한다는 의미가 결코 아니다!


파동함수의 본질은 "확률"이다

파동의 위상이 큰 곳은 더 높은 확률을 의미하고, 작은 곳은 낮은 확률을 의미한다

정확히는 파동함수의 "절대값 제곱"에 비례하는 확률을 갖게 된다

파동함수는 음수나 허수의 값도 가질 수 있는데 절대값 제곱을 하는 과정에서 모조리 측정 가능한 실수로 바뀌게 된다


이때 우리는 확률만을 구할 수 있기 때문에 우리가 측정하고자 하는 위치나 운동량 등에 대해서도 모조리 확률적인 해석만 가능하다

즉 물체가 어느 범위존재할 확률, 물체가 가장 있음직 법한 위치(기댓값) 등만 계산할 수 있다는 것이다.

이로부터 불확정성의 원리가 연결되는데 이는 물리학2 교과서를 참고하기 바란다


예를 들어 파동함수 Ψ를 갖는 입자의 위치의 기댓값 <x>은 다음과 같이 구할 수 있다

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caabbf4bc2246a33917e061ab723c0f5cb57e4f928609b4e3a3e241035b996a1b6456ca5576d82c6

여기서 *은 복소수의 켤레를 의미한다

만약 운동량의 기대값을 구하고 싶다면 단지 x 자리에 p의 연산자를 넣어서 적분하기만 하면 된다


그럼 가장 단순한 예인 무한 사각 우물에서 입자의 파동함수를 구해보자

다음 그림과 같이 길이가 L인 1차원 우물이 있다고 생각하자

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caf8bf16c1793f61c133f8f48654fd10caf239a422f72e279f981d1b6a2eebd73e8a4e23afe1ab17f0113c5b231e32a9f1b70640b7eeba4ee4b919df54364f8ffeffaf78bd33

왜 우물이라 표현했는가 하면

0<x<L에서는 퍼텐셜E가 0이라 입자가 자유롭게 존재할 수 있지만, 그 밖에서는 퍼텐셜이 무한대이기 때문에 입자가 결코 존재할 수 없는, 마치 우물 속에 빠진 것과 같은 상태이기 때문이다

따라서 입자가 우물 밖에서 존재할 확률, 즉 파동함수의 절대값 제곱은 확실하게 0이라고 말할 수 있다

그러므로 우물 밖에서 파동함수는

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caa8e942c47f356293542c0cf20c601282f5fa83f089698efbb217

이다


문제는 우물 속이다

우물 속에서 입자의 파동함수는 슈뢰딩거 방정식을 만족하면서 연속이어야 하므로(파동함수는 언제나 연속이어야 한다) 그 가장자리에서 0이 되어야 한다

다행스럽게도 1차원만 고려되므로 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 라플라시안 대신 x에 대한 미분을 이용해 나타낼 수 있다

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caaee847c37f6a6f927aa978b90975e80076e67b7a8900e5733c95

이 방정식을 풀기 위해서는 어떤 트릭이 필요하다

시간과 공간에 동시에 의존하는 파동함수를 시간과 공간 각각에 의존하는 두 함수의 곱으로 표현하는 변수분리를 통해 해결하는 것인데 고등과정을 벗어나므로 여기서 소개하지는 않겠다

중간과정을 생략하면 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 시간에 의존하는 항이 제거되어 다음의 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식이 된다

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caaee8139629383390c1f77db58422632411a70a70d2a2518957ab

이때 소문자 프사이 ψ는 x에만 의존하는 파동함수이고 E는 허용된 에너지이다

무한 사각 우물 내부에선 V=0이므로

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9cafab944957f3b35c6885f441da6499425c475150719f44f8e493f

미분 앞의 계수를 이항하여

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caffef44932c6f60c1232eb54026f1b745ab401d04f58e0e4956e6

라 정의하면

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9cafde8419e29686491c2bbb672e6d518908948de98ab083957a938

이 미분방정식을 푸는 것은 간단하다

두 번 미분하였더니 앞에 -를 포함하는 계수가 붙는 함수는 sin과 cos이 있다

따라서 우리는 ψ의 형태를 다음과 같이 유추할 수 있다

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caafed42c22c6e6299521efea75c3e0806748421d0a782bbf331f2

그러나 앞서 우리는 우물의 두 가장자리에서 Ψ=0이라는 경계조건을 확인하였다

따라서

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caacbf17c1783966c61fbfb9085745be6bbd09314e73b232660e0f

라는 결론을 얻는다 또한

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caadb913c12b3c34944804db6ac73f767f802ab4fc6101b7188276

이므로

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caa5e54a972b3e62911d6abfd27c9e00111ffb5a3db5242a677e76

이어야 한다

따라서

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caabe54b937c3f3595a2eb2ef0f80e9844405f595d7dcbf01de310

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caa4e94bc2296860c62ff0e6167129e0093b7261f41a2e54b4177c

이다

여기서 모든 확률의 합, 즉 파동함수의 제곱의 모든 범위에서의 정적분이 1이어야 한다는 성질을 이용하여 A를 결정할 수 있다

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9cafeba17912d6e6391b52938398a2800138ab0cdb00ad35da916b9

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caa4b916c62f6e36919c344e9556bb4e6449571b8d5a5f481504dc

따라서 최종적으로

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9cafee51194246f6293bfa9ea6f8933c3fcd460e26f1ae72e3e9882

이라는 해를 얻을 수 있다

n은 양의 정수이며 이 값이 클수록 큰 에너지를 갖게 된다

이 해 중 일부를 그림으로 나타내면 음과 그림의 좌측과 같다

viewimage.php?id=3db5c935ecd12bf4&no=24b0d769e1d32ca73dec8ffa11d02831046ced35d9c2bd23e7054e3c2c8867abc9fd7c18cd239223cd8183e9a7ab902cd5a75f4e772dd9caaebd4a952d393696a4b65026855851069778962b2070883a3033655319fe5fb3dce23f17d438a90e6b624b05aff44e148c4bfc248ee141a1379b78064b930a3a35482d4054

에너지가 가장 낮은 해(n=1)의 경우엔 입자가 존재할 확률(우측 그림)이 중앙에서 가장 높게 나오는 것을 확인할 수 있다

또한 n이 커짐에 따라 존재할 확률이 높은 곳이 늘어나는 것을 알 수 있다

이것이 무한 사각 우물에서 입자의 파동함수를 구하고 이를 해석하는 방법이다


===========================


이상으로 슈뢰딩거 방정식과 무한 사각 우물에서의 활용에 대한 소개를 마치겠다

평소에 물리에 조예가 깊은 학생이라면 과정을 온전히 이해하진 못하더라도 파동함수라는 발상과 그로부터 도출된 결과를 이해하는데에 큰 어려움이 없으리라 생각한다

부디 물리학에 대한 관심과 열정을 키워 물리학과를 희망하는 학생이 늘어났으면 하는 바이다

추천 비추천

56

고정닉 13

8

댓글 영역

전체 댓글 0
본문 보기

하단 갤러리 리스트 영역

왼쪽 컨텐츠 영역

갤러리 리스트 영역

갤러리 리스트
번호 말머리 제목 글쓴이 작성일 조회 추천
- 설문 영포티룩도 멋지게 소화할 것 같은 40대 스타는? 운영자 25/10/27 - -
755886 공지 물2갤 자주 올라오는 질문 모음.txt [5] 라플라시안갤로그로 이동합니다. 25.10.28 286 12
728507 공지 질문은 질문탭에 올려주세요 [2] 라플라시안갤로그로 이동합니다. 25.04.20 1927 23
751271 공지 신문고 [6] 라플라시안갤로그로 이동합니다. 25.09.17 513 13
643937 공지 [2024.7.1 업데이트] 물리학2 갤러리 칼럼 정리 [10] 붕옥아이젠갤로그로 이동합니다. 24.07.01 43588 66
756016 일반 돌림힘 간단한거 질문 [3] 물리물리(147.46) 09:37 61 0
756015 일반 물2스러운 기하 발견 ㅇㅇ(61.41) 09:36 30 0
756014 일반 수능특 [3] 푸갤라미갤로그로 이동합니다. 07:20 101 0
756013 일반 물2 고정만점권 만드는데 보통 시간 얼마 걸리나요? [2] 무캐엄마갤로그로 이동합니다. 03:09 145 2
756011 일반 속벡 재밌다 [1] navi갤로그로 이동합니다. 01:21 46 0
756010 일반 디제스터 곧 재앙 [2] ㅇㅇ갤로그로 이동합니다. 10.29 93 0
756009 일반 벌써 단과종강기간이라니 ㅇㅇ갤로그로 이동합니다. 10.29 47 0
756008 일반 정적비열과 정압비열을 배웠음 [8] ㅇㅇ갤로그로 이동합니다. 10.29 102 0
756007 일반 얼버취 그만하자갤로그로 이동합니다. 10.29 27 0
756005 일반 인생망함 [6] 산가츠노환타지아갤로그로 이동합니다. 10.29 123 0
756004 일반 반인륜적 반사회적인 범죄는 일반인의 상상이상으로 존나 많이 일어난다함 [5] ㅇㅇ갤로그로 이동합니다. 10.29 94 0
756003 일반 수능은 어떤느낌일까 [5] 수탐을건지고국영을버리다갤로그로 이동합니다. 10.29 112 0
756002 일반 릴스넘기다가 이상한 노랠 들엇는데 그만하자갤로그로 이동합니다. 10.29 53 0
756000 일반 ㅎㅇ [4] Laqranqian갤로그로 이동합니다. 10.29 60 0
755998 오실모 저녁 ㅅㅁ [4] 수탐을건지고국영을버리다갤로그로 이동합니다. 10.29 64 0
755997 일반 역에보를 물2로 배움 그만하자갤로그로 이동합니다. 10.29 84 0
755996 일반 체인쏘맨에서는 파워가 가장 예쁨 [13] 그래디언트갤로그로 이동합니다. 10.29 133 2
755995 일반 내가존경하는 등소평주석 강택민주석 장개석총통의 공통점 [4] ㅇㅇ갤로그로 이동합니다. 10.29 49 0
755994 일반 . [4] 그만하자갤로그로 이동합니다. 10.29 103 0
755993 일반 청년문화예술패스인가 그거로 원더리벳 가는 상상함 산가츠노환타지아갤로그로 이동합니다. 10.29 24 0
755991 일반 이 콘 ㅈㄴ 맘에 듦 [15] 강한적을벨땐한걸음앞으로갤로그로 이동합니다. 10.29 96 0
755990 일반 치환적분이랑 부분적분 어케 잘함 ,, [16] 210.94갤로그로 이동합니다. 10.29 133 0
755989 일반 시간이 ㅈㄴ 빠르다는 걸 느끼게 해줌 [6] 강한적을벨땐한걸음앞으로갤로그로 이동합니다. 10.29 92 1
755988 일반 돈 갚기싫어서 채권자를 죽이는게 말이 되나 [9] ㅇㅇ갤로그로 이동합니다. 10.29 96 0
755987 일반 아님 말고,, 210.94갤로그로 이동합니다. 10.29 66 0
755986 일반 세상엔 마조히스트밖에 없는게 분명하다 [5] 가속하는전자갤로그로 이동합니다. 10.29 84 0
755985 오실모 오실모 [13] 물생갤로그로 이동합니다. 10.29 89 0
755984 질문 진심 역학 장애같은데 어캄 (역학질문2개) [19] Rareliquid갤로그로 이동합니다. 10.29 164 0
755983 일반 정병호 6평 28번 당일 해설이 좋았는데 원솔멀파 에서 바꿨네 [4] ㅇㅇ갤로그로 이동합니다. 10.29 111 0
755982 오실모 독서 8틀 문학, 화작 0틀 입갤 [11] 210.94갤로그로 이동합니다. 10.29 79 0
755981 일반 물2 2등급을받을수잇을가. [3] 산가츠노환타지아갤로그로 이동합니다. 10.29 95 0
755980 오실모 ㅇㅅㅁ [6] 산란되는광자갤로그로 이동합니다. 10.29 77 0
755979 일반 ㅇㅅㅁ추가 [4] 산가츠노환타지아갤로그로 이동합니다. 10.29 64 0
755978 일반 실모 운영 질문 ㅇㅇ(61.98) 10.29 20 0
755977 일반 파일어케올림? [4] ㅇㅇ(59.9) 10.29 86 0
755976 일반 수완모의마음에든다 [2] 그만하자갤로그로 이동합니다. 10.29 98 0
755975 일반 근데 태블릿접는건 왜 안나오노 [2] ㅇㅇ(1.235) 10.29 62 0
755974 일반 맞아죽어도 공군을 가라 [2] 이수03(118.235) 10.29 63 1
755972 일반 하..씨..누구지... ㅇㅇ(223.39) 10.29 121 8
755971 일반 늦게 군대가면 좋은점 [12] 컴의치한약수갤로그로 이동합니다. 10.29 146 0
755970 오실모 ㅇㅅㅁ [6] 노말벡터갤로그로 이동합니다. 10.29 85 0
755969 일반 유튜브광고꼬라지 ㅇㅇ(175.209) 10.29 68 1
755967 일반 물2 한서준모의고사 선발대 ㄱㄱ? [6] navi갤로그로 이동합니다. 10.29 192 0
755966 일반 유튜브에서 봤는데 이분 여기 고닉? 아닌가요 ㅇㅇ갤로그로 이동합니다. 10.29 187 13
755965 일반 이번주 스러너 미30 다 ㅈㄴ어려움. [4] ㅇㅇ갤로그로 이동합니다. 10.29 97 0
755962 오실모 실모 [1] 산가츠노환타지아갤로그로 이동합니다. 10.29 45 0
755961 일반 와퍼 3 어게인 navi갤로그로 이동합니다. 10.29 33 0
755960 일반 정수론 재밌다 가원갤로그로 이동합니다. 10.29 61 0
755959 일반 비문학은 인강 들을 필요가 없다고 생각하는데 [2] ㅇㅇ(118.91) 10.29 99 0
755958 일반 물2 10모 만표 얼마인가요? ㅇㅇ(14.138) 10.29 59 0
갤러리 내부 검색
제목+내용게시물 정렬 옵션

오른쪽 컨텐츠 영역

실시간 베스트

1/8

디시미디어

디시이슈

1/2