오늘은 재미있는 공학 얘기를 하러 왔음. 로봇팔 제어에 대한 얘기임. 

고2정도 수학과 물리정도면 이해할 수 있음

다음과 같은 로봇팔을 생각해보자. 끝점은 P(x,y)라고 생각하자. 물론 내가 그림을 퍼온 책은 y축을 x2라고 설정하는 장애같은 표기법을 씀. 참고하셈.

이 로봇팔의 운동을 표현해볼거임. 무슨 말이냐 하면, 각도 θ가 주어지면 로봇팔 끝 점의 위치 P(x,y)를 찾는다는거.

다시 말하면, 로봇팔 각도에 대한 위치 함수 P(x(θ),y(θ))를 찾아볼거임. 

단순함. 삼각함수를 이용해서 

이렇게 써주는거임. 위에서 말했듯이 y축을 x2로 표기한거임. 

이제 이걸 t에 대해 미분해보자. sin(θ(t))라고 생각하고 고3때 배웠듯이 합성함수의 미분법을 이용하면 됨. 

그러면 이렇게 각도를 받아서 위치를 내보내는 함수, 각도의 시간변화량에 대해 로봇팔 끝의 속도를 내보내는 함수를 찾은거임.

하지만 더 직관적으로 간단히 표현하기 위해 행렬 표현을 써보면

이렇게 표현할 수 있음. 이때 저 우변 왼쪽의 항을 야코비안(Jacobian)이라고 함. 첫글자 따서 간단히 하면

이런식으로 쓸 수 있음. 

만약 행렬 산수를 잘 모르는 대붕이를 위해 산수 방법도 잠깐 보여주고 갈게.

덧셈은 뭐 그냥 눈치껏 자리 맞춰서 하면 되니까 굳이 알려주지 않아도 본능적으로 할 수 있지? 

보다싶이 행렬의 곱셈은 연산 방법도 이상하고 계산량도 많아. 이거에 대해서는 나중에 다시 얘기할거야.

다시 돌아와서, 사실 저 야코비안이라는 친구는 상당히 유용한 함수인데, 좌표계를 변환시켜주는 함수야. 

고딩시절 익숙한 표현으로 쓰면 v = J(θ) 이렇게 볼 수 있어. 만약 "좋은 조건"이 주어진다면 θ = J^(-1)(v)의 역함수 형태도 이용 가능하겠지?

이건 대1때 이과라면 2학기에 배우는 다변수 미적분학에서 단순히 좌표변환으로 도형 넓이 구하는데 사용할 수 있을 뿐만 아니라

다양한 수학 분야에서 매개화라든가 사용하기도 해. 물론 이렇게 공학에서 로봇팔 위치에 대해서도 사용하지.

다시 로봇팔 얘기로 돌아가서 이야기하자면, 이렇게 각도를 받아서 위치나 속도를 내보내는걸 (순방향) 기구학이라고 불러. 

안타깝게도 이건 별로 유용하지 못한데, 실제로 생각해보면 정말이야. 

책상 위에 있는 컵을 집으려는 팔을 생각해보면, 각도 하나 다음 각도 하나 하면서 위치로 움직이지는 않거든. 

일단 위치를 계획하고 그거에 따라서 각도를 찾아가게 돼. 즉, 우리가 만든 함수의 역함수가 사실 더 유용한거지.

그래서 그런 과정을 역 기구학이라고 부르고 이후 위치를 찾아가는 과정에서의 속도와 정밀성을 높이는 연구들이 진행중임.

사실 더 하고싶은 이야기가 많이 있지만 간단히 조금만 더 알려주고 갈게.

하나는 바로 위의 저 J^(-1)이라는 야코비안의 역함수에 대한 이야기야. 내가 J를 함수라고 소개하면서 "좋은 조건"이 있다면 역함수를 생각할 수 있다고 했는데

정작 역함수가 더 중요하다고 이야기를 마쳤지? 행렬을 공부해본 대붕이라면 알겠지만 detJ=0이여서 행렬식이 0이면 역행렬이 존재하지 않아서 대응되는 야코비안의 역함수가 없게 돼. 이걸 로봇팔 제어에서의 특이점(singularity)이라고 부르고 여기서는 제어가 불가능해. 약간 더 깊이 말하자면 J의 rank 하나가 줄어들고 이는 곧 자유도를 잃어버린단걸 말하는거지. 3차원 공간의 점 P(x,y,z)에서 2차원 평면의 점 Q(x,y,0)으로 가는 함수 f: P -> Q 는 편하게 사용하지만 다시 2차원에서 3차원으로 가는건 정보를 잃어서 z축 방향인 높이를 특정할 수 없는거랑 비슷한 이야기야.

따라서 이런 특이점 근방에 왔을 때 개지랄을 하는 다양한 연구들이 진행중이야. 행렬 J의 행렬식이 0이 안되도록 산수질을 좀 해주거나, 오차를 잘 재서 특이점을 거의 지워버린다거나 그런거지. 

둘째로는 위의 특이점 이야기와 이어지는데, 바로 연산시간에 대한 이야기야. 기본적으로 행렬 연산은 시간이 많이 걸려. 

위에서도 봤듯이 자유도 2개짜리 로봇팔에서 겨우 2by2 짜리 두 개 계산하는것도 존나 귀찮게 생겼는데, 

보통 우리 연구실도 그렇고 산업용 로봇은 염병할 자유도가 7개나 되는 극악무도한 복잡도를 가지고 있어. 

이건 회전을 나타내는 행렬이고 S는 sin, C는 cos, 첨자는 C23 이면 cos(θ2 + θ3) 이런식으로 줄여서 쓴거야.

계산 방법 자체도 신경을 써줘야 해. 그리고 단순히 수식이 복잡하고 특이점도 문제이지만 같은 위치에 도달하는 관절 각도 경우의 수도 다양(무한)하게 나오거든. 이 때 어떤 각도 조합을 통해서 위치에 도달하는지 최적화를 시키는것도 중요한 과제야. 

다음에 다시 옴 ㅅㅅ